Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Najpiękniejsze zadanie geometryczne

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 2017
  • Publikacja elektroniczna: 30 czerwca 2017
  • Wersja do druku [application/pdf]: (45 KB)

Znam takie zadanie. Jego autorem jest Igor Fiodorowicz Szarygin. Jego treść jest nieskomplikowana: jak szeroki walec można włożyć pomiędzy trzy jednakowe, parami prostopadłe walce?

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Purysta zażądałby doprecyzowania. Ale człowiek rozsądny nie będzie miał wątpliwości, że chodzi o rezultat ekstremalny, a więc o najmniej korzystną dla wkładanego walca sytuację. A więc walce o osiach parami prostopadłych mają być styczne (bo wtedy miejsca na wkładany walec będzie najmniej).

W rozwiązaniu tego zadania kluczowe jest dostrzeżenie w danych trzech walcach sześcianu. Odkrywa się jego istnienie w następujący sposób.

Osie dwóch walców to proste skośne. Dla prostych skośnych zaś istnieje łączący je odcinek prostopadły do obu z nich - to najkrótsze ich połączenie.

Tu dygresja dla niedowiarków. Gdy proste k i |l są skośne, przez dowolny punkt prostej k prowadzimy prostą l′ równoległą do l, a przez dowolny punkt prostej l prostą |k′ równoległą do |k. Płaszczyzny λ zawierająca proste |k i  ′ l oraz |µ zawierająca proste l i  ′ k są równoległe. Płaszczyzna π zawierająca prostą k i prostopadła do |λ i płaszczyzna |ρ zawierająca prostą l i prostopadła do płaszczyzny µ przecinają się wzdłuż odcinka łączącego k z |l i prostopadłego do nich obu. Nieprawdaż?

Odcinki prostopadłe łączące osie walców dla stycznych walców o promieniu |R mają więc długość 2R. Co więcej, ich końce na każdej z osi walców są odległe też o |2R - połączmy je. Powstaje w ten sposób łamana złożona z sześciu odcinków (na rysunku 1 ciągłe odcinki kolorowe). Uzupełnienie jej do sześcianu nie sprawi nikomu kłopotu.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Sześcian ten zawiera w sobie wszystko, co może mieć związek z wkładanym między walce poszukiwanym walcem. Jeśli narysujemy (wyobrazimy sobie), co się dzieje we wnętrzu sześcianu, zobaczymy trzy "ćwiartki" walców (Rys. 2). Tu następne kluczowe (ile jeszcze tych kluczy?) spostrzeżenie - te ćwiartki mają oś obrotową: prosta łącząca dorysowane na rysunku 1 wierzchołki sześcianu ma tę własność, że obracając wokół niej owe ćwiartki (można to robić razem z sześcianem), otrzymujemy tę samą sytuację. Zauważmy, że owa oś jest też osią obrotową dla danych na początku walców. Jest ona, oczywiście, jednakowo odległa od każdej z ćwiartek, a każda inna prosta, biegnąca między ćwiartkami, jest w mniejszej odległości od co najmniej jednej z nich.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Tak więc znaleźliśmy oś poszukiwanego walca, a jego promień to jej odległość od którejkolwiek z ćwiartek.

No to kolejne kluczowe spostrzeżenie: przy zrzutowaniu w kierunki równoległym do powierzchni ćwiartki odległość jej od osi nie powiększa się. I tak nasze stereometryczne zadanie zredukowało się do zadania płaskiego (Rys. 3): jaka jest odległość przekątnej kwadratu u boku |2R od okręgu mającego środek w wierzchołku kwadratu i promień |R.

To, że wynikiem jest  √ -- ( 2− 1)R, nie budzi wątpliwości.

Zadanie to podziwiam dlatego, że prezentuje rzecz dla mnie w matematyce najpiękniejszą - redukcję zawiłości do sedna sprawy.


Do czytania

Polecam dostępne w sieci książki Szarygina I.F. Sharygin Problems in Plane geometry i Problems in Solid Geometry