Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Mała Delta

Nowości z przeszłości

Sprawiedliwa, czy niesprawiedliwa?

Rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł - wygrywam ja, jeśli reszka - wygrywa mój przeciwnik. Czy jest to gra sprawiedliwa? Uważam, że tak. A oto inna gra. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie szóstka - wygrywa mój przeciwnik, jeśli co innego - wygrywam ja. W moim odczuciu ta gra jest niesprawiedliwa, niekorzystna dla mojego przeciwnika. Czy zgadzacie się ze mną? Jeśli tak, to w porządku, rozumiemy się doskonale...

Zaproponuję teraz inną grę. Rzucamy monetą wielokrotnie - aż do momentu, kiedy w kolejnych trzech rzutach wypadną trzy orły albo trzy reszki. W tym pierwszym wypadku wygrywam ja, w drugim mój przeciwnik. Zasady gry proste, choć na rozstrzygnięcie trzeba czasem czekać dość długo. Oto przykład rozgrywki rozstrzygniętej dopiero po dwunastu rzutach.

OROORRORORRR - wygrał mój przeciwnik.

Czy jest to gra sprawiedliwa? Niewątpliwie tak. Spróbujmy jednak zmienić nieco jej przepisy. Ja będę czekał na taki ciąg kolejnych wyników: orzeł, reszka, reszka; mój przeciwnik natomiast wyczekuje rezultatu: reszka, reszka, orzeł.

Rzucamy aż do skutku.

Gra bardzo podobna do poprzedniej - radziłbym jednak dobrze się zastanowić nim odpowiecie na pytanie, czy jest ona sprawiedliwa. A najlepiej wykonajcie eksperyment. Poszukajcie sobie cierpliwego partnera i rozegrajcie 40 partii, ostatecznie można grać nawet z samym sobą. Jeśli około 30 z nich przyniesie wygraną graczowi, który obstawił wynik ORR - to - uchylę Wam rąbka tajemnicy - nie będzie to przypadkiem. W tej grze szanse nie są równe. Spróbujmy jednak wydedukować, dlaczego.

obrazek

Dla porównania szans obydwu graczy przywołamy na pomoc interesującą i bardzo skuteczną metodę - przełożywszy reguły naszej gry na język grafów. Sądzę, że potrafię wyjaśnić Wam, o co chodzi.

Wypiszmy kolejne rezultaty po drodze do sukcesu jednego z graczy:

O, OR, ORR

i drugiego:

R, RR, RRO.

Dorzućmy do tego sytuację przed wykonaniem pierwszego rzutu i oznaczmy ją literą S - jak start. Otrzymamy w ten sposób 7 stanów: O, OR, ORR, R, RR, RRO, S. Teraz będziemy rysować między nimi strzałki.

Zacznijmy od pierwszego wypisanego stanu, O. Wczujmy się dobrze w sytuację i wyobraźmy sobie, że gra dopiero się rozpoczęła, rzuciliśmy monetą raz i wypadł orzeł. Co się może zdarzyć dalej? W drugim z kolei rzucie wypadnie orzeł lub reszka. Jeśli reszka, przejdziemy ze stanu O do stanu OR, natomiast jeśli wypadnie orzeł - przechodzimy do stanu OO. Takiego stanu wprawdzie brak na naszej liście, ale też wcale nie jest on nam potrzebny. Z punktu widzenia dalszej rozgrywki sytuacja OO jest dokładnie taka sama jak sytuacja O.

Dlatego narysujemy takie dwie strzałki: pierwszą od stanu O do stanu OR i drugą od stanu O do... tego samego stanu O. Na rysunku, który zaczyna przekształcać się w graf, wyglądać to będzie tak:

obrazek

A cały graf przybierze ostatecznie taką postać (sprawdźcie, czy wszystkie strzałki są narysowane poprawnie):

obrazek

Mając do pomocy graf nietrudno zorientować się w szansach obydwu graczy. Okazuje się, że wynik gry jest przesądzony po drugim, jeśli już nie po pierwszym rzucie. Dojść po strzałkach do stanu RRO, co odpowiada wygranej drugiego gracza, można tylko wtedy, jeśli zarówno w pierwszym, jak i w drugim rzucie wypadnie reszka. Inne możliwości a konkretnie: OO, OR i RO nieuchronnie prowadzą do stanu ORR, a więc do wygranej gracza pierwszego. Można się więc domyślać, że szanse graczy będą w stosunku 3:1 na korzyść pierwszego z nich. Że tak jest w rzeczywistości - przekonajcie się przeprowadzając doświadczenie, które Wam zaproponowałem.

obrazek

A na zakończenie mam dla Was kilka zadań. Pomęczcie się nad nimi trochę oczekując na ukazanie się następnego numeru Małej Delty. Zdradzę wam tajemnicę, że znajdziecie tam opis Probabilistycznego Abaku, czyli maszynki do rozwiązywania różnych ciekawych zadań z rachunku prawdopodobieństwa.

Zadanie 1. Narysujcie odpowiedni graf i porównajcie szanse graczy w takiej grze. Jeden z graczy obstawia wynik ROO, drugi RRO. Tak jak w poprzedniej grze rzuca się monetą aż do skutku.

Zadanie 2. Jeden z graczy wybiera dowolny ciąg trzech kolejnych wyników rzutu monetą. Drugi z graczy wybiera dowolny inny. Tak jak poprzednio rzuca się monetą aż do skutku. Czy wolelibyście wybierać wynik jako pierwsi, czy jako drudzy?

Zadanie 3. Spróbujcie narysować graf i porównać szanse graczy w takiej grze: rzucamy kostką do gry dopóty, dopóki nie wypadnie parzysta liczba oczek lub 1 i 3 obojętnie w jakiej kolejności i niekoniecznie pod rząd. W pierwszym przypadku (wyrzucenie liczby parzystej przed 1 i 3) wygrywa gracz pierwszy, w innym wypadku, gracz drugi. Dla uniknięcia nieporozumień podam dwa przykłady rozgrywek:
1, 1, 5, 4 - wygrał gracz pierwszy
3, 5, 3, 1 - wygrał gracz drugi