Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. Kombinatoryka

    Problem więźniów - o pewnych własnościach losowych permutacji

    W pewnym zakładzie karnym przebywa stu skazanych, ponumerowanych liczbami od 1 do 100: B1; B2; :::;B100: Strażnik zaproponował im następującą grę: sto kartek z ich numerami umieszcza w stu skrytkach, po jednej kartce w każdej skrytce. Sposób rozmieszczenia kartek nie jest znany więźniom. Następnie strażnik pozwala każdemu z więźniów sprawdzić dokładnie połowę skrytek. Sprawdzający wchodzi do pokoju ze skrytkami sam, a po swojej turze musi zostawić pokój w stanie nienaruszonym i jedynie poinformować nadzorcę, czy odnalazł swój numer, czy też nie. Nie komunikuje się później z pozostałymi więźniami. Osadzeni wygrywają wyjście na wolność wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z nich zdoła odnaleźć swój numer. Jaka jest szansa na to, że im się to uda?

  2. Teoria liczb

    Trójkąt harmoniczny – bliźniak trójkąta Pascala

    Trójkąt Pascala zna praktycznie każdy. Widoczny poniżej z lewej strony trójkąt ma tę własność, że każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią (z wyłączeniem wierzchołka trójkąta oraz jego prawego i lewego boku, gdzie znajdują się jedynki). Z kolei w trójkącie po prawej stronie każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio pod nią. Na jego prawym oraz lewym boku znajdują się odwrotności kolejnych liczb naturalnych - liczby harmoniczne. Taki obiekt nazywa się trójkątem harmonicznym. Konstrukcję obu trójkątów można oczywiście kontynuować w nieskończoność...

  3. Kombinatoryka

    Raz, dwa, trzy, wychodź ty!

    Dawno temu... w czasach bez Internetu, bez gier komputerowych i smartfonów dzieci bawiły się w chowanego. Na początku zabawy trzeba było oczywiście wyznaczyć osobę, która będzie szukać. Uczestnicy ustawiali się w koło i ktoś odliczał: Raz, dwa, trzy, wychodź ty, i wówczas szósta osoba (odliczanka ma 6 sylab) wychodziła z kółka. Procedurę tę powtarzano aż do momentu, gdy w kółku pozostała jedna osoba - to był pierwszy szukający. Istnieje wiele wierszyków-odliczanek. Moją ulubioną jest odliczanka 15-sylabowa: Mama daje jeść, tata daje pić, a ty sobie idź.

  4. obrazek

    Kombinatoryka

    Parkietaże

    W autorskim tygodniku internetowym Trapez Jarosław Wróblewski proponuje serię zadań (nr 75-126) o parkietowaniu prostokątów. Na przykład: czy planszę 15 × 15 da się szczelnie pokryć klockami o wymiarach |8× 1;1 × 8;11 × 1 oraz 1 × 11 (oczywiście klocki nie mogą na siebie zachodzić).

  5. Kombinatoryka

    Teoria grup w kombinatoryce

    Ten artykuł będzie poświęcony zliczaniu różnych kolorowań obiektów, które podlegają symetrii. Wyobraźmy sobie, że Kalina chciałaby pokolorować rogi kwadratu za pomocą m kolorów. Ile różnych figur może w ten sposób otrzymać?

  6. Kombinatoryka

    Kolorowe czapeczki – kontynuacja

    Niedługo po ukazaniu się mojego artykułu Kolorowe czapeczki do redakcji przyszedł list od wieloletniego Czytelnika Delty, Jana Błaszczyńskiego, z propozycją rozwiązania postawionego tam problemu. Proste rozwiązanie Jana Błaszczyńskiego, w przeciwieństwie do przedstawionego w moim artykule, jest deterministyczne ii; i na dodatek pozwala rozstrzygnąć problem dla dowolnej liczby kolorów czapeczek i dowolnej liczby krasnoludków.

  7. Kombinatoryka

    Układanie prostokątów

    W tym artykule zastanawiamy się nad pytaniem kiedy szachownicę math można pokryć prostokątami math? Naturalna próba odpowiedzi to: szachownicę można pokryć, gdy math dzieli długość któregoś z boków, czyli gdy math lub math Jasne jest, że w tym przypadku faktycznie można pokryć szachownicę. Ale czy są inne przypadki, w których istnieje pokrycie?

  8. Kombinatoryka

    Kombinatoryka i nieskończoność

    Kombinatoryka zajmuje się własnościami zbiorów skończonych, w szczególności zagadnieniem zliczania elementów takich zbiorów. Czy może zatem w kombinatoryce znaleźć się miejsce dla nieskończoności? Okazuje się, że tak – pokażę jedno z takich zastosowań nieskończoności: funkcje tworzące...

  9. Kombinatoryka

    Mandaty z urny

    W Polsce i w wielu krajach wybory do parlamentu są proporcjonalne. Oznacza to, że liczba mandatów przypadających na jeden głos powinna być taka sama dla każdej partii. Gdy w państwie XY oddano 15 głosów na partię A, 7 na partię B i 1 na partię C i do obsadzenia były 23 mandaty – ich przydział jest niezwykle prosty. Gdyby jednak do podziału było 15 mandatów, powstaje problem: partia A powinna dostać math mandatu, partia B uzyskać math mandatu, partia C otrzymać math mandatu.