Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Nowości z przeszłości

Co to jest dowód?

Andrzej Pelc

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1981
  • Publikacja elektroniczna: 9 czerwca 2016

Co to znaczy udowodnić twierdzenie matematycznej Logicy dawno już odpowiedzieli na to pytanie, podając definicję dowodu formalnego jako ciągu zdań kończącego się dowodzonym twierdzeniem i o tej własności, że następne zdanie ciągu powstaje z poprzedniego w myśl prostych, ustalonych reguł.

obrazek

Początkiem ciągu muszą zaś być aksjomaty.

No tak, to wszystko pięknie, tylko że takich dowodów nikt nie pisze. Byłyby za długie, niezrozumiałe przez szczegółowość, a nade wszystko... piekielnie nudne. Powstające w rzeczywistości dowody matematyczne to jakby szkice rozumowań, opisy, jak coś tam można udowodnić. Autorzy pomijają wiele kroków, pozostawiając je domyślności czytelników, co czasem prowadzi do złych skutków, gdy ci są mniej domyślni niż to zakładali twórcy dowodów. Na ogół jednak przyjmuje się za "dobry" dowód, który jest zrozumiały dla tzw. przeciętnie wykształconego specjalisty.

Przy takim, bardzo pragmatycznym podejściu do pojęcia dowodu budzi się od razu szereg wątpliwości. Czy np. rozumowanie spisane na 10 tysiącach stron druku można nazwać dowodem? Żaden człowiek nie byłby w stanie tego zrozumieć, zakładając nawet, że taki gigant zostałby wydrukowany. Podobne kontrowersje budzi dowód słynnego twierdzenia o czterech barwach. Większą część tekstu stanowi tam wydruk z komputera tak długi, że nikt nie jest w stanie sprawdzić poprawności obliczeń bez użycia... innego komputera. A jeśli maszyna popełniła błąd? Poza tym dla kogo robimy dowody: dla ludzi, czy dla komputerów?

Wśród matematyków istnieje zwyczaj wyznaczania nagród za rozwiązanie szczególnie trudnych problemów. Stawia się wówczas na ogół pytanie: "czy jest tak a tak?" i wypłaca okrągłą sumę temu, kto odpowie na nie twierdząco lub przecząco i poda dowód. Słynnym fundatorem takich nagród i jednocześnie twórcą problemów jest węgierski matematyk Pál Erdős, a premie sięgają niekiedy trzech tysięcy dolarów. Zdarza się czasem, zwłaszcza przy pytaniach z teorii mnogości, topologii ogólnej czy teorii funkcji rzeczywistych, że jakiś niesforny matematyk wykręci się sianem i zamiast odpowiedzieć tak lub nie, udowodni, że dana hipoteza jest nierozstrzygalna, tzn. nie można jej ani udowodnić, ani obalić. Z formalnego punktu widzenia wszystko jest w porządku, problem zostaje zamknięty. W odczuciu jednak niektórych matematyków dowód niezależności hipotezy daje mniej informacji niż "zwykły" dowód jej lub jej zaprzeczenia. Czy autor takiego rozwiązania powinien zainkasować nagrodę w walucie wymienialnej? Zdania co do tego są podzielone, zwłaszcza że warunki konkursu nie bywają ustalane precyzyjnie. A co o tym sądzą Czytelnicy?