Delta mi!

Losowość w grach karcianych, planszowych i komputerowych często budzi wiele kontrowersji. Sprawia ona, że gracz słabszy grający z lepszym ma szansę wygrać. Jest to pożądane w przypadku gier towarzyskich i frustrujące w przypadku gier profesjonalnych. W obu przypadkach nadmiar losowości jest zły, gdy za często zdarza się, że przewaga gracza pierwszego, wynikająca z jego inteligentnej gry, jest niwelowana przez szczęście drugiego. W moim artykule pokażę, jak z losowością można walczyć na przykładzie jednej z najbardziej losowych gier, czyli Chińczyka, którego, mam nadzieję, wszyscy znają.

W jeziorze pływa ryb, ale liczby nie znamy. Chcielibyśmy tę liczbę oszacować, nie uciekając się do osuszenia jeziora. Powiedzmy, że dysponujemy wędką, puszką farby i odrobiną wiedzy ze statystyki. Łowimy sobie jedną rybkę po drugiej i wrzucamy z powrotem do jeziora, krzywdy żadnej rybce nie czyniąc. Przed wrzuceniem do wody malujemy rybce kreseczkę na ogonku...

Historyjka na marginesie poniżej przedstawia tzw. problem podziału stawki - jedno z zadań, jakimi żywił się raczkujący rachunek prawdopodobieństwa u początków swojego istnienia. W źródłach europejskich pojawia się on po raz pierwszy w podręczniku Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni, et Proportionalita włoskiego franciszkanina, Luki Paccioliego (1445-1517).

Spróbuj, drogi Czytelniku, wyobrazić sobie, że zarządzasz wielkim magazynem z milionami różnych towarów na półkach. W Twoim magazynie znajdują się części zamiennie do koparek, samochodów i motocykli, śrubki, silniki, narzędzia, odzież specjalistyczna, smary i oleje napędowe, oraz inne motoryzacyjne cuda. Jeżeli wczułeś się już w swoją rolę, pozwól, że zadam Ci pytanie. W jaki sposób zarządzasz towarami? Skąd wiesz, kiedy złożyć zamówienie?

Metoda probabilistyczna gościła już na łamach Delty (np. w numerach 12/2006 i 4/2015), byłoby jednak nieprawdopodobnie głupio pominąć ją w numerze poświęconym dowodom.

Grając w większość gier karcianych, musimy przetasować talię w taki sposób, aby ich kolejność była "jak najbardziej" losowa. Pierwszym pytaniem, na które odpowiemy sobie w tym artykule, jest pytanie o probabilistyczny sposób wyrażenia tej własności.

Beta i Bit siedzieli na ławce w parku rozrywki. Jak zahipnotyzowani patrzyli na olbrzymią kolejkę górską. Tory kolejki zwijały się w siedem olbrzymich pętli, a każda pętla wykręcona była w innym kierunku. Po torach z olbrzymią prędkością pędził sznur wagoników wypełnionych krzyczącymi ludźmi.

- O żesz krzywa jego źle uwarunkowana macierz! - zakrzyknął generał Estymer, po czym zaklął szpetnie. Na jego biurku leżał stos raportów opisujących kolejny dzień bitwy pomiędzy klanami Częstościowców i Bajesistów. Te dwie frakcje, dzielące między sobą władzę w Statogrodzie, dawno dawno temu pokłóciły się o to, czyje estymatory są dokładniejsze i tak zrodził się konflikt od lat nękający spokojną wcześniej krainę.

Rozmaite zagadnienia można wygodnie i ładnie ilustrować geometrycznie. Jeśli wyniki doświadczenia losowego dają się zinterpretować jako punkty pewnego obszaru i każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny, to prawdopodobieństwo określonego zdarzenia można wyznaczyć jako stosunek miary (pola, objętości etc.) odpowiadającej mu części obszaru do miary całości.

Wbrew pozorom tytuł niniejszego tekstu nie jest efektem zestawienia dwóch przypadkowych słów; nawet zupełnie przypadkowe przypadki mogą zdradzać pewne regularności i fakt ten wcale ich przypadkowości nie przeczy. Przypadkiem ich praktycznego zastosowania są średniowieczne tablice do gry w kości; opisane w nich zasady faworyzują jedną ze stron w sposób na tyle delikatny, że oszukiwana strona wcale się taką nie czuje...

Powiada Ewangelia: Łatwiej jest wielbłądowi przejść przez ucho igielne, niż bogatemu wejść do królestwa niebieskiego.

Na stole leżą, ułożone w losowej kolejności koszulkami do góry, trzy karty: As, Król i Dama. Jeżeli gracz odgadnie prawidłowo położenie Asa, wygrywa dużą nagrodę. Gracz wskazał kartę, nie obejrzał jej, i wtedy prowadzący grę mówi: Chwileczkę. Odkryję jedną z dwóch pozostałych kart, a ty się zastanów, czy chcesz zmienić swoją kartę na kartę, która pozostała nieodkryta.

W teorii prawdopodobieństwa mówimy o modelu klasycznym, gdy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym i wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne...

Są trzy symetryczne monety...

Filozof może się zadowolić tym, że "wie, że nic nie wie". Fizyk zaś potrzebuje wiedzieć, ile nie wie...

Zwykła moneta często okazuje się doskonałym narzędziem do rozstrzygania konfliktów. Zapewne każdemu zdarzyło się usłyszeć magiczną formułkę "orzeł to, reszka tamto", z reguły będąc przychylnym dokładnie jednemu ze zdarzeń "to" lub "tamto". Takie rozwiązanie jest jednak mało widowiskowe - o ile wzajemne obrzucanie się inwektywami (w celu wytłumaczenia, w jak wielkim błędzie jest strona przeciwna, prezentując zdanie odmienne od naszego) szybko przyciąga publiczność, tak zakończenie sporu przy użyciu jednego rzutu monetą może pozostawić ją z odczuciem niedosytu.

Wyobraź sobie, Czytelniku, że na skutek wieloletnich ćwiczeń i poznania kilku szulerskich sztuczek udało Ci się zwiększyć swoje szanse na wygraną w grze blackjack do Kuszony wizją bajecznego bogactwa w końcu zdecydowałeś się odwiedzić kasyno, by tam spożytkować swoje niesamowite umiejętności. Z miną zawodowego pokerzysty przysiadłeś się do odpowiedniego stolika i zacząłeś grać...

W pierwszej części cyklu (Delta 2/2015) mieliśmy okazję przyjrzeć się wybranym przykładom zaskakujących połączeń, z którymi możemy spotkać się w świecie matematyki. W drugiej części zapoznamy się z jednym z takich połączeń dużo dokładniej. Mowa tu o metodzie probabilistycznej, wiązanej często z nazwiskiem Paula Erdősa, który w trakcie swojej kariery naukowej korzystał z niej niezliczoną liczbę razy.

W Delcie 1/2015 Łukasz Rajkowski oszacował, kiedy należy spodziewać się końca świata. Narzędziem użytym w tej analizie było wnioskowanie bayesowskie. Nie od dziś wiadomo, że należy je stosować z odpowiednią ostrożnością oraz dbałością o założenia i interpretacje. Dlaczego? Zastanówmy się nad poniższym prostym przykładem, gdzie na użytek tych, którzy nie wyobrażają sobie prawdopodobieństwa bez kul w urnach lub rzutów monetą, został wykorzystany ten ostatni model.