Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Skąd wiadomo, że moneta ma i orła, i reszkę?

Krzysztof Turzyński

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: luty 2015
  • Publikacja elektroniczna: 01-02-2015

W Delcie 1/2015 Łukasz Rajkowski oszacował, kiedy należy spodziewać się końca świata. Narzędziem użytym w tej analizie było wnioskowanie bayesowskie. Nie od dziś wiadomo, że należy je stosować z odpowiednią ostrożnością oraz dbałością o założenia i interpretacje. Dlaczego? Zastanówmy się nad poniższym prostym przykładem, gdzie na użytek tych, którzy nie wyobrażają sobie prawdopodobieństwa bez kul w urnach lub rzutów monetą, został wykorzystany ten ostatni model.

W cyrkach, do których nie dotarła jeszcze zasada równouprawnienia płci, sztuczki magiczne przedstawiane są przez magika wspieranego przez asystentkę. Wyobraźmy sobie sztuczkę, podczas której asystentka zamykana jest w solidnej skrzyni wraz z symetryczną monetą, którą wykonuje m rzutów, odczytując na głos wyniki. Niestety, od czasu do czasu asystentkę nachodzi przemożna chęć zełgania wyniku: z prawdopodobieństwem pb udzieli ona zatem odpowiedzi R, gdy wypadnie orzeł, a odpowiedzi O po uzyskaniu reszki.

Wyniki podane magikowi przez asystentkę tworzą następujący ciąg danych

=ORRR...R. D m−1

Zadanie magika polega na rozstrzygnięciu, która z poniższych hipotez jest poprawna, tzn. lepiej opisuje rzeczywistość.

  • H_0: Moneta ma dwie reszki. (Moneta bez orła?! Prezes NBP przed Trybunał Stanu!)
  • H_A: Moneta jest zwykłą symetryczną monetą z orłem i reszką.

Korzystając z twierdzenia Bayesa, magik może obliczyć prawdopodobieństwo tego, że prawdziwa jest hipoteza | H0 pod warunkiem uzyskania danych | D :

P(H H) )=0. P(H0 P(H H0)+P(H H0AA)))PP((DD

Prawdopodobieństwa | P(H0) i | P(HA) muszą zostać przyjęte niejako "z góry" i "na wiarę" - wyrażają one poglądy magika na temat modelowanego zjawiska. Jasne jest, że  H0)=pb(1−pb)m−1 |P(D (jeżeli asystentka rzuca monetą dwureszkową, to wynik pierwszego rzutu musiał być zmyślony, a pozostałe - nie) oraz m | HA)=1/2 P(D (jeżeli orły i reszki pojawiają się losowo, to ciąg D | jest jednym z  m 2 możliwych wyników i losowe kłamstwo asystentki tego nie zmienia). Zachodzi zatem równość:

P(H0)pb(1 )=. P(H0 P(H0)pb(1

Niezależnie od poglądów na temat wartości | P(H0) i | P(HA), przy  1 |pb < 2 prawdopodobieństwo ) P(H0 może być dowolnie bliskie jedności (a prawdopodobieństwo ) P(HAD dowolnie bliskie zeru) pod warunkiem, że m jest dostatecznie duże. Oznacza to, że uzyskanie przez asystentkę odpowiednio długiego ciągu reszek będzie argumentem na rzecz odrzucenia przez magika hipotezy HA | i uznania hipotezy H0 za prawdopodobną.

Intuicyjnie oczywiste? Jednak z jednej z lóż słychać gwizdy! Siedzący tam widz postanowił spojrzeć na cyrkową sztuczkę od bardziej klasycznej strony. Można przecież sprawdzić, czy hipoteza |H0 jest po prostu zgodna z danymi . |D Gdyby hipoteza H0 była prawdziwa, prawdopodobieństwo uzyskania wyniku innego niż ciąg samych reszek równałoby się  m |1− (1− pb) . Jeżeli |pb jest odpowiednio małą liczbą, prawdopodobieństwo to także jest małe, więc widz mógłby żądać odrzucenia hipotezy H0.

To właściwie dlaczego odrzuciłeś hipotezę, że moneta ma i orła, i reszkę, magiku?