Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

RROzważania O RReszce i ORRle

Łukasz Rajkowski

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2015
  • Publikacja elektroniczna: 01-11-2015

Zwykła moneta często okazuje się doskonałym narzędziem do rozstrzygania konfliktów. Zapewne każdemu zdarzyło się usłyszeć magiczną formułkę "orzeł to, reszka tamto", z reguły będąc przychylnym dokładnie jednemu ze zdarzeń "to" lub "tamto". Takie rozwiązanie jest jednak mało widowiskowe - o ile wzajemne obrzucanie się inwektywami (w celu wytłumaczenia, w jak wielkim błędzie jest strona przeciwna, prezentując zdanie odmienne od naszego) szybko przyciąga publiczność, tak zakończenie sporu przy użyciu jednego rzutu monetą może pozostawić ją z odczuciem niedosytu.

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Przykładowym sposobem na uatrakcyjnienie oraz niewielkie przedłużenie całej procedury jest rzucanie monetą, dopóki wśród kolejnych wyników nie pojawi się jedna z konfiguracji OO lub |RR, w zależności od której wyłaniany jest zwycięzca. Ich oczywista symetria sprawia, że przegrany może czuć się pokrzywdzony jedynie przez los, nie zaś przez oszustne praktyki adwersarza. Co jednak, jeśli osoba typująca OO (nazwijmy ją Jackiem) zmieniła zdanie na OR? Wówczas obstawiający RR (Placek, rzecz jasna) miałby prawo do słusznego protestu; zauważmy bowiem, że jeśli w pierwszym rzucie pojawi się reszka, to szanse Jacka na zwycięstwo wynoszą |50%, jeśli natomiast orzeł, to wygra on z pewnością (w momencie, w którym pojawi sie pierwsza reszka) i dlatego prawdopodobieństwo jego sukcesu należy oceniać na |75%. Podobna sytuacja ma miejsce, jeśli Jacek i Placek będą oczekiwać odpowiednio na konfiguracje ORR i RRO - wbrew pozorom, jakie stwarza równa liczba reszek w obu przypadkach, Jacek jest faworytem również takiej rozgrywki. Wytłumaczenie tego faktu jest analogiczne, jednak odrobinę bardziej skomplikowane, dlatego warto podeprzeć się rysunkiem 1, ilustrującym wszystkie istotne z punktu widzenia rozgrywki "końcówki" ciągu wyników (będziemy je nazywać stanami) oraz strzałki prezentujące możliwość bezpośredniego przejścia między stanami (każde z prawdopodobieństwem 50% ). Tak jak poprzednio, ciąg rzutów rozpoczynający się od orła nie może skończyć się inaczej niż zwycięstwem Jacka; z kolei gdy zaczniemy od reszki, decydujący jest drugi rzut: reszka prowadzić będzie nieuchronnie do wygranej Placka, natomiast orzeł do Jacka. Wnioskujemy stąd, że ponownie z prawdopodobieństwem |75% ten ostatni okaże się zwycięzcą.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Co zatem może uczynić Placek, by szala zwycięstwa przechyliła się na jego stronę? Okazuje się, że w celu uzyskania przewagi powinien obstawić konfigurację OOR. W konfrontacji z |ORR otrzymujemy wówczas stany zilustrowane na rysunku 2. Analiza otrzymanego grafu pozwala szybko przekonać się o przewadze konfiguracji |OOR, gdyż aby gra się zakończyła, z pewnością musi przejść przez stan |O, z którego - jeśli przejdzie do stanu |OO - to z pewnością zakończy się sukcesem Placka, natomiast przejście do |OR niekoniecznie skutkować będzie triumfem Jacka. Aby jednak przedstawić prawdopodobieństwa sukcesu graczy, musimy przeprowadzić nieco bardziej skomplikowane obliczenia niż poprzednio. Oznaczmy przez ps szansę na zwycięstwo Placka, gdy rozpoczynamy ze stanu |s. Wówczas oczywiście pOOR= 1 oraz pORR= 0, ponadto, korzystając z rysunku 2 oraz zdrowego rozsądku (przyjmującego w tym przypadku uczoną nazwę wzoru na prawdopodobieństwo całkowite), możemy przedstawić następujące zależności:

pict

Z równania (1) dostajemy | pOO= pOOR= 1, skąd oraz z układu równań (2) i (3) mamy  2 pO= 1− pOR= 3. Z (4) wnioskujemy |pO= pR, dlatego z równania (5) mamy pstart = pO= 23 - jest to zatem szukane prawdopodobieństwo wygranej Placka na samym początku rozgrywki.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Dążący do odzyskania przewagi nad swoim konkurentem Jacek może teraz przeprowadzić następujące rozumowanie: "skoro, obstawiając ORR, miałem przewagę nad celującym w RRO Plackiem, to jeśli teraz Placek wytypował |OOR, z symetrii sytuacji wystarczy mi zmienić swój wybór na ROO !". W odpowiedzi na takie posunięcie Placek może pomyśleć: "kiedy Jacek grał |ORR, spuszczałem mu łomot, obstawiając OOR, więc jeśli teraz wytypował |ROO, utrzymam moją przewagę, czekając na |RRO !". W tym miejscu artykułu Czytelnik, który nie zagubił się jeszcze w gąszczu e R ów i |O ów, zwrócił być może uwagę na pewien niepokojący efekt całego rozumowania. Uzasadniliśmy bowiem, że grający RRO zapewne przegra z typującym |ORR, który powinien przegrać z obstawiającym |OOR, który prawdopodobnie ustąpi pola grającemu ROO, a ten ostatni zapewne poniesie klęskę, grając z... pierwszym, czyli RRO ! Oczywiście, sprzeczność jest jedynie pozorna, a podobnego typu paradoksów probabilistycznych nie brakuje - o jednym z nich (kościach Sichermana) można przeczytać w Delcie 1/2009. Czy możemy wskazać inne ciągi konfiguracji długości 3 o opisanej własności? Aby odpowiedzieć na to pytanie, użyjemy mało finezyjnego sposobu: dla każdych dwóch takich konfiguracji sprawdzimy bowiem, przy użyciu opisanej wcześniej metody, która z nich (o ile którakolwiek) miałaby większe szanse na wygraną w przypadku konfrontacji. Efekt takiej analizy przedstawiony jest na rysunku 3, na którym strzałka między dwiema konfiguracjami wskazuje na prawdopodobnego zwycięzcę, jej brak natomiast oznacza równe szanse w pojedynku. Zwróćmy uwagę, że konfiguracje OOO i RRR nie wygrywają z żadną inną, nie mogą być zatem częścią żadnego cyklu. Wynika stąd, że do cyklu nie mogą również należeć ORO i ROR, gdyż jedyne, z jakimi wygrywają, to wykluczone wcześniej |OOO i RRR. Z pozostałych konfiguracji można ułożyć wyłącznie cykl opisany wcześniej i dlatego jest on jedyny możliwy do uzyskania. Warto ponadto zauważyć, że z każdego wierzchołka prezentowanego grafu wychodzi strzałka - oznacza to, że dla każdej konfiguracji przeciwnika możemy znaleźć taką, która prawdopodobnie da nam zwycięstwo. Niestety, on może odpłacić się nam tym samym, i choć przez pewien czas moglibyśmy bawić się w złośliwe zmiany decyzji, patową sytuację zapewne najwygodniej będzie zakończyć przy użyciu starego i sprawdzonego pojedynczego rzutu monetą.