Przeskocz do treści

Delta mi!

  1. obrazek

    Teoria liczb

    Piramida kwadratowych liczb

    Piramidy w starożytnym Egipcie budowano na kształt ostrosłupa prawidłowego o podstawie kwadratu. Jak pokazują źródła historyczne, starożytni Egipcjanie potrafili obliczyć objętość takiego ostrosłupa. Jednak ich dobrze rozwinięta, jak na tamte czasy, matematyka, miała głównie zastosowanie praktyczne i raczej nikt nie formułował pytań, które miałyby na celu jedynie matematyczną rozrywkę. Jednym z matematyków, który szczególnie interesował się rozrywkowymi zastosowaniami królowej nauk, był Édouard Lucas, autor między innymi słynnej gry zwanej Wieżą Hanoi. W niniejszym artykule zwrócimy uwagę na sformułowany przez Lucasa problem z gatunku tych raczej mało praktycznych. Jak zobaczymy, ma on pewien związek z piramidami.

  2. obrazek

    Leonardo Fibonacci (1170-1240)

    Leonardo Fibonacci (1170-1240)

    Teoria liczb Rachunki

    Fibonacci spotyka Banacha

    Fibonacci (właściwie Leonardo z Pizy, ok. 1170-1240) nauczył się zasad arytmetyki hindusko-arabskiej, gdy razem z ojcem przebywał w Bougie (obecnie algierska Bidżaja). Poszerzał swoją wiedzę podczas podróży do Egiptu, Syrii, Grecji, na Sycylię, do Prowansji. Gdy osiadł w Pizie, w 1202 roku napisał traktat Liber Abaci (Księga rachunków), z myślą o rozpowszechnieniu w Europie notacji dziesiętnej opartej na wykorzystaniu cyfr 0,1,2, ...,9. Pokazał w nim użyteczność nowych metod na wielu przykładach rachunkowych, szczególnie związanych z przeliczaniem miar i wag, obliczaniem zysków i odsetek, wymianą pieniędzy...

  3. Teoria liczb

    Ziemiolubne liczby i ulotne reszty

    Człowiek twardo stąpa po ziemi, a z nim pojęcia, które stworzył. Na przykład liczby są tylko tym, do czego człowiekowi służą: porządkowe, kardynalne i inne. W skończonych zastosowaniach są to liczby naturalne 1, 2, 3, ... i ich uogólnienia: liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste i zespolone. Słowo skończone w poprzednim zdaniu odnosi się wyłącznie do opisywanego atrybutu liczonego obiektu: a to jego rangi, a to mocy, a to fizycznych rozmiarów. W matematyce teoretycznej liczb praktycznie zawsze potrzebujemy nieskończenie wiele!

  4. Teoria liczb

    Dyskretny Darboux

    Każda funkcja ciągła określona na zbiorze liczb rzeczywistych ma własność Darboux, tzn. jeśli dla pewnych x i y mamy f (x) = a i |f (y) = b; to w przedziale (x;y ) są przyjmowane wszystkie wartości między a i b: Jest to bardzo skuteczne narzędzie do rozwiązywania wielu zadań z analizy matematycznej. Okazuje się, że podobny motyw możemy zaobserwować także w zadaniach dotyczących liczb całkowitych...

  5. Teoria liczb

    Algorytmy podzielności przez 7

    Zapewne każdy Czytelnik Delty wie, jak sprawdzić, czy nawet duża liczba jest podzielna przez 3, czy przez 8. Metody tego typu wprowadzane są już w młodszych klasach szkoły podstawowej, dzięki czemu są powszechnie znane. Jednak tytułowy problem podzielności akurat przez 7 jest w typowym kursie szkolnym pomijany. W niniejszym artykule postanowiliśmy więc tę lukę uzupełnić i przedstawić przegląd różnych metod na sprawdzenie podzielności przez 7.

  6. Teoria liczb

    Trójkąt harmoniczny – bliźniak trójkąta Pascala

    Trójkąt Pascala zna praktycznie każdy. Widoczny poniżej z lewej strony trójkąt ma tę własność, że każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią (z wyłączeniem wierzchołka trójkąta oraz jego prawego i lewego boku, gdzie znajdują się jedynki). Z kolei w trójkącie po prawej stronie każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio pod nią. Na jego prawym oraz lewym boku znajdują się odwrotności kolejnych liczb naturalnych - liczby harmoniczne. Taki obiekt nazywa się trójkątem harmonicznym. Konstrukcję obu trójkątów można oczywiście kontynuować w nieskończoność...

  7. obrazek

    Teoria liczb

    Trudniej, a łatwiej

    Są twierdzenia łatwe i trudne do udowodnienia. Zazwyczaj im mocniejsze sformułowanie, obejmujące więcej przypadków, tym trudniej się je dowodzi. Tak jest na przykład z twierdzeniem cosinusów i twierdzeniem Pitagorasa, które jest jego szczególnym przypadkiem. Łatwiej jest udowodnić twierdzenie Pitagorasa; można to zrobić nawet w sposób zrozumiały dla przedszkolaka (zobacz rysunek obok). Do dowodu twierdzenia cosinusów trzeba przynajmniej wiedzieć, co to cosinus, w szczególności kąta rozwartego.

  8. Teoria liczb

    Mały Gauss

    Już rok po śmierci Gaussa (w 1856 r.) ukazała się książka wspomnieniowa jego wieloletniego przyjaciela Wolfganga Sartoriusa von Waltershausena Zum Gauss Gedächtniss. Trzeba o niej wiedzieć co najmniej z dwóch powodów. Stąd pochodzi najsłynniejszy aforyzm z matematyką w roli głównej. Jako teoretyk liczb przytoczę go z przyjemnością w pełnej postaci: Matematyka jest królową nauk, a arytmetyka królową matematyki.

  9. Teoria liczb

    Sumy kwadratów wielomianów

    Suma kwadratów najczęściej kojarzy się nam z twierdzeniem Pitagorasa - słusznie, ale warto wiedzieć, że temat ten ma swoje miejsce również w teorii liczb, gdzie interesuje nas, czy daną liczbę całkowitą można przedstawić w postaci sumy kwadratów innych liczb całkowitych. Intrygujące jest również pytanie, ile składników znajduje się w tej sumie. Osiągnięcia w tym zakresie mieli między innymi Fermat, Euler i Lagrange...

  10. Teoria liczb

    Szereg Leibniza i punkty kratowe

    Powiążemy tu wzór Leibniza

    ß- 1- 1- 1- 1- 4 = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 + :::

    z geometrią (pola) i teorią liczb. Tekst jest wyraźnie dłuższy od tego, który jest w książce Hilberta i Cohn-Vossena, bo szkicujemy dowód twierdzenia z teorii liczb, na które autorzy jedynie powołują się. Pozostawimy jednak bez dowodu niektóre bardzo znane twierdzenia z teorii liczb, ze względu na ograniczenia miejsca w miesięczniku. Zaznaczyć warto, że podawany zwykle studentom pierwszego roku dowód jest krótszy, ale zdaniem autora tego tekstu, nie pokazuje związku z geometrią, który jest mocno sugerowany obecnością |ß we wzorze.

  11. obrazek

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Pierre de Fermat (1601-1665)

    Teoria liczb

    Twierdzenia Fermata różnej wielkości

    Pierre de Fermat był Francuzem i żył w pierwszej połowie XVII wieku (1601-1665). Jako radca prawny praktykował w sądzie w Tuluzie na południu Francji. Naukami ścisłymi, a w szczególności matematyką, interesował się jako amator, ale wniósł potężny wkład do ich rozwoju. Szczególnie spektakularne są jego osiągnięcia w teorii liczb i o nich traktuje niniejszy artykuł. Wszyscy wiedzą, że jest Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF), Małe Twierdzenie Fermata (MTwF) i jeszcze inne twierdzenia Fermata dotyczące teorii liczb - ale które z nich jest największe?

  12. Teoria liczb Mała Delta

    Resztki

    Skończyłam! - krzyknęła triumfalnie Agatka do swojego brata, Bartka. Dziewczynka regularnie domaga się od starszego chłopca rozmaitych ciekawostek matematycznych, których ten dowiaduje się w liceum...