Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Ogródek Gardnera

Jaka to liczba?

Francesc Roselló

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: styczeń 2011
  • Publikacja elektroniczna: 20-12-2010
  • Autor: Francesc Roselló
    Afiliacja: Universitat de les Illes Balears

Na ogół matematycy nie są ulubionymi gośćmi na przyjęciach. Poprzedza nas reputacja nudziarzy, zanurzonych myślami w definicjach i twierdzeniach. A jednak możemy użyć naszej wiedzy, by oczarować zebranych magicznymi trikami, opartymi na własnościach matematycznych. Może przy okazji ktoś zainteresuje się matematyką?

W jednej ze swoich pierwszych książek Mathematics, Magic and Mystery, przywoływanej już w tym numerze Delty, Martin Gardner pokazuje wiele magicznych chwytów matematycznych. Niektóre z nich, polegające na odgadywaniu ukrytej liczby, wywodzą się z następującej własności liczby 9:

Fakt. Niech math będzie dodatnią liczbą naturalną. Sumujemy jej cyfry, a następnie sumujemy cyfry otrzymanego wyniku – i tak dalej, aż do uzyskania liczby jednocyfrowej (zwanej pierwiastkiem cyfrowym wyjściowej liczby i oznaczanej symbolem  math). Wówczas jeśli

math
math jest wielokrotnością 9, to math;
math
math nie jest wielokrotnością 9, to math jest resztą z dzielenia math przez 9.

Wynika stąd, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych  math zachodzą równości math oraz math (dlaczego?).

Książka Gardnera mieści wiele trików opartych na tej własności. Tu będzie mowa o takim, który – o dziwo – u Gardnera się nie pojawił, choć bardzo do niego pasuje. Wymaga on nieco wprawy obliczeniowej, a może także trochę umiejętności aktorskich. Prosimy kogoś (nazwijmy kogosia, na przykład, Anią) o wybranie w myślach liczby trzycyfrowej; nazwijmy ją math. Teraz prosimy Anię, by gdzieś na kartce (niewidocznej dla nas) dodała wszystkie liczby otrzymane przez permutację cyfr wybranej liczby – bez niej samej – i podała nam tylko otrzymaną sumę. Na przykład, gdyby Ania pomyślała liczbę 527, powinna teraz dodać liczby 572, 257, 275, 725, 752. Przyjmujemy, że cyfry są rozróżnialne, a więc np. liczba 333 też daje 5 dodatkowych permutacji cyfr. Co więcej, nie przeszkadza nam 0, nawet jeśli pojawi się na początku nowej liczby.

Po otrzymaniu sumy prosimy Anię, by skoncentrowała myśli na wybranej na początku liczbie i po chwili (pokrywając umiejętnościami aktorskimi niezręczną przerwę potrzebną na obliczenia pamięciowe) math podajemy jej tę liczbę. Jak to możliwe? Zbadajmy całą sytuację.

Jeśli wymyśloną liczbą jest math, to niech math oraz math. Rzecz jasna, znając math, potrafimy podać liczbę  math, jeśli tylko potrafimy obliczyć math, gdyż wtedy math.

Zauważmy, że

pict

Widać, że znajomość liczby math pozwoli wyznaczyć math. Liczmy więc dalej:

display-math

co po krótkich obliczeniach daje math, czyli math. Tak więc reszta  math z dzielenia math przez 9 jest równa reszcie z dzielenia math przez 9, czyli pierwiastkowi cyfrowemu math. A ten pierwiastek możemy obliczyć, ponieważ znamy math i wiemy, że math.

Znajomość reszty  math to nie wszystko, choć dużo. Mamy bowiem math, a to oznacza, że math może być równe mathmath lub math. Które z nich? Wróćmy do math i rozpatrzmy te trzy możliwości:

display-math

Widzimy, że te możliwe wartości math różnią się o prawie 2000 (co najmniej), znamy math i wiemy, że math. Pozwala to jednoznacznie wybrać odpowiednią z tych wartości. To pierwsza z nich, która jest większa od  math.

Prześledźmy to na przykładzie liczby 527 wybranej przez Anię. Dowiadujemy się od niej, że math.

math
Obliczamy math, mnożymy przez 2 i znów obliczamy pierwiastek cyfrowy. Dostajemy math.
math
Mnożymy: math.
math
Pierwszą możliwą wartością math jest math i w rezultacie math
math
math wybraną liczbą jest math.

Pozostaje jeden szkopuł: jak szybko obliczyć w pamięci pierwiastek cyfrowy? Otóż jest prosta i szybka metoda. W trakcie sumowania cyfr wybranej liczby  math (na przykład, od lewej) zastępujemy każdą sumę częściową większą od 9 sumą jej cyfr. Zobaczmy to na przykładzie liczby 8742953 (symbol math oznacza zastąpienie liczby dwucyfrowej sumą jej cyfr):

pict

Tak więc math. Trochę treningu i można iść na przyjęcie!

Zauważmy na koniec, że z własności pierwiastka cyfrowego można wyciągnąć interesujący wniosek. Jeśli w zapisie dziesiętnym pewnej wielokrotności liczby 9 brakuje jednej cyfry (i wiemy, że nie jest nią zero), łatwo możemy ją odtworzyć – jest nią ta cyfra, której brakuje pierwiastkowi cyfrowemu do 9, lub 9, gdy pierwiastkiem jest 9 (dlaczego?). Popatrzmy dla przykładu na liczbę 2308302, która jest wielokrotnością 9. Jeśli usunięto z niej cyfrę 8 i podano nam pozostałe cyfry (2, 3, 0, 3, 0, 2), obliczamy pierwiastek cyfrowy dowolnej liczby zbudowanej z tych cyfr, na przykład, math i wiemy już, że brakującą cyfrą jest math.

Niestety, tak dobrze nie jest, gdy pozwolimy, by usuniętą cyfrą było 0. W naszym przykładzie mamy math, a to oznacza, że brakującą cyfrą może być 0 lub 9. Ale cóż, zgadywanie zawsze jest obarczone pewnym ryzykiem math

tłumaczył Wiktor Bartol