Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Drobiazgi

Małe Twierdzenie Fermata

Tomasz Kazana

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
  • Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
  • Autor: Tomasz Kazana
    Afiliacja: Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski

Małe Twierdzenie Fermata ma również taki dowód...

obrazek

Twierdzenie. Dla dowolnej liczby naturalnej n oraz dowolnej liczby pierwszej p liczba  p n − n dzieli się przez p.

Dowód. Będziemy rozważać "koła fortuny" o |p segmentach. Pytamy, ile istnieje różnych takich kół, przy założeniu, że mamy dostępne |n kolorów. Oczywiście, gdyby koło było nieruchome, mielibyśmy |np takich kół (każdy z |p segmentów kolorujemy niezależnie na jeden z |n kolorów).

Gdy uwzględniamy możliwość obracania koła, zauważamy, że metoda podana wyżej nie może być poprawna, bo niektóre koła liczone są więcej niż raz. Konkretniej: prawidłowo (a więc jednokrotnie) liczone są tylko koła jednobarwne. Natomiast każde koło niejednobarwne liczone jest dokładnie |p razy - każdy kolejny obrót o jeden segment daje inny obrazek (dlaczego?).

Skoro kół jednobarwnych jest n, to różnych kół niejednobarwnych liczonych przy założeniu nieruchomości jest  p n −n. To oznacza, że różnych prawdziwych (obrotowych) niejednobarwnych kół fortuny jest dokładnie np−pn. Ostatnia liczba jest, oczywiście, całkowita, a to kończy dowód tezy.


Wniosek. jeśli n nie dzieli się przez liczbę pierwszą p, to zachodzi |p np −1−1.

Czasem sam ten wniosek nazywa się Małym Twierdzeniem Fermata.


Zaprezentowane tu rozumowanie pochodzi z książki Henryka Pawłowskiego pt. "Kółko Matematyczne dla Olimpijczyków", która dla autora tego tekstu jest po prostu ważna.