Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O tym, czego nie ma

O kilku zbiorach, których nie ma

Wiktor Bartol

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1996
  • Publikacja elektroniczna: 20-03-2011
  • Autor: Wiktor Bartol
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego

Cóż prostszego, jak stworzyć zbiór z dowolnych prawdziwych lub wymyślonych obiektów! Czyż zbiór nie jest po prostu pewną konstrukcją myślową? Wystarczy zatem pomyśleć o owych obiektach jako o elementach jednego zbioru – i już.

Jak pięknie. Niestety, mniej więcej 90 lat temu Bertrand Russell wpadł na pomysł, by rozważyć zbiór (nazwijmy go math), do którego ma należeć każdy taki zbiór, który nie jest sam swoim własnym elementem, i tylko takie zbiory. Inaczej mówiąc,

display-math

I oto okazało się, że coś jest nie tak jak trzeba. Mianowicie, czy math? Jeśli tak, to math nie może należeć do math bo nie spełnia wymaganego warunku. Jeśli nie, to musi należeć do math bo spełnia wymagany warunek. Ta sprzeczność każe wnioskować, że taki zbiór math nie może istnieć.

Mamy tu pierwszy przykład zbioru, który nie jest zbiorem, bo go nie ma. Przykład okazał się zresztą bardzo przydatny, bo matematycy zajęli się budową takich podstaw teorii mnogości, by podobne sprzeczności nie mogły wystąpić.

Swego czasu Georg Cantor udowodnił, że każdy zbiór ma mniej elementów niż podzbiorów. Mówiąc nieco dokładniej, jeśli w jakikolwiek sposób przyporządkujemy każdemu elementowi (dowolnego) zbioru mathpewien podzbiór zbioru math to na pewno zostanie jeszcze sporo podzbiorów „bez przydziału”. (Mówiąc jeszcze dokładniej, moc zbioru math jest ostro mniejsza od mocy zbioru math wszystkich podzbiorów zbioru math ) Z tego twierdzenia Cantora (spytajcie dowolnego studenta matematyki po I semestrze studiów, czy słyszał o twierdzeniu Cantora!) wynika kilka ciekawych wniosków pozytywnych, ale także wiele negatywnych, czyli takich, które mówią o tym, że coś nie istnieje.

Po pierwsze, nie istnieje „zbiór wszystkich zbiorów”, czyli taki zbiór, do którego należy każdy zbiór. Istotnie, przypuśćmy, że math jest takim zbiorem. Wtedy każdy jego podzbiór – będąc zbiorem – jest jednocześnie jego elementem, a zatem math ma nie więcej podzbiorów niż elementów – sprzeczność z twierdzeniem Cantora.

Widać mieliśmy za duże wymagania. Może uda się utworzyć zbiór wszystkich zbiorów jednoelementowych?

Takich jest przecież dużo mniej niż wszystkich zbiorów... Niestety. Gdyby taki zbiór, powiedzmy math istniał, to dla dowolnego zbioru math elementem zbioru math byłby jednoelementowy zbiór math Ale wtedy wzięlibyśmy sumę zbiorów należących do math (czyli zbiór złożony ze wszystkich takich elementów, które należą do choćby jednego elementu zbioru math) – a zgodnie z aksjomatami teorii mnogości, suma zbiorów należących do jednego zbioru jest znowu zbiorem – i okazałoby się, że elementem owej sumy jest każdy zbiór. Rzeczywiście, zbiór math jest elementem zbioru math należącego do math A przecież już wiemy, że taki zbiór nie istnieje! Zatem nie istnieje także zbiór wszystkich zbiorów jednoelementowych.

A czy istnieje zbiór ze 149 podzbiorami? Znów pudło. Nie istnieje też zbiór, który miałby dokładnie 196 albo 245 280 podzbiorów. Uzasadnienie tej tezy nie wymaga sprawdzenia każdego zbioru i policzenia jego podzbiorów. Po prostu liczba podzbiorów skończonego zbioru math-elementowego (oczywiście, żaden zbiór nieskończony nie ma dokładnie 149 podzbiorów!) jest równa math Co więcej, ten fakt powinien być znany wielu uczniom szkoły średniej, a w każdym razie tym, którzy widzieli kiedyś następującą równość:

display-math

traktowaną jako własność kombinatoryczna. A przecież math to nic innego jak liczba
math-elementowych podzbiorów zbioru math-elementowego! Zatem math jest liczbą wszystkich (a więc i 0-elementowego i 1-elementowych, … i math-elementowego) podzbiorów zbioru math-elementowego.

Dobrze, jeśli nie 149 i nie 196, i nie 245 280, to może da się znaleźć zbiór, który miałby tyle podzbiorów, ile jest liczb naturalnych (czyli przeliczalnie wiele)? Nie wątpię, że nie spodziewasz się już, drogi Czytelniku, odpowiedzi pozytywnych w tym artykule. I rzeczywiście. Żaden zbiór skończony nie ma tylu podzbiorów, bo ma ich tylko skończenie wiele. Jeśli natomiast math jest zbiorem nieskończonym, to ma co najmniej tyle elementów, ile jest liczb naturalnych, bo po wyjęciu math elementów z math– dla dowolnej liczby naturalnej math – możemy jeszcze znaleźć w nim kolejny, math-szy element. Jeśli tak, to z twierdzenia Cantora wynika, że math musi mieć więcej podzbiorów niż jest liczb naturalnych!

Po tym wszystkim można zapytać, czy w ogóle istnieją jakieś zbiory. Tak. Na pewno istnieje zbiór pusty.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24