Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Nowości z przeszłości

O pewności w matematyce i hipotezie continuum

Andrzej Pelc

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 1981
  • Publikacja elektroniczna: 9 czerwca 2016

Słyszy się często: "to pewne, jak 2 + 2 = 4 ". Zdania matematyczne bywają podawane za wzór niewzruszonej i absolutnej prawdy. Pytanie, jakie zdania? Niewątpliwie pewniki, czyli aksjomaty ("przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta") oraz twierdzenia, choćby tak łatwe, jak to zacytowane na początku.

obrazek

Istnieją jednak w matematyce zdania o zupełnie innym charakterze. Należy do nich słynna hipoteza continuum, którą można sformułować następująco: Każdy nieskończony zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny bądź ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, bądź ze zbiorem liczb naturalnych.

Hipoteza continuum jest niezależna od powszechnie przyjmowanych w matematyce aksjomatów. Formalnie oznacza to, że o ile matematyka bez hipotezy continuum jest niesprzeczna, to nie stanie się sprzeczna po dodaniu tej hipotezy lub jej zaprzeczenia. Można to inaczej sformułować mówiąc, że ani hipotezy continuum, ani jej negacji nie zdołamy udowodnić używając powszechnie używanej aksjomatyki.

No tak, zdarza się słyszeć, zwłaszcza od osób po raz pierwszy stykających się z tym dziwolągiem matematycznym, ale przecież jakoś to jest. My, być może, nie potrafimy udowodnić ani obalić hipotezy continuum, ale demon wiedzący wszystko o świecie mógłby po prostu sprawdzić, czy istnieją te pośrednie zbiory nierównoliczne ani ze zbiorem liczb naturalnych ani rzeczywistych, czy też nie. Rozumowanie to opiera się na błędnym przypuszczeniu, że zbiór liczb rzeczywistych jest takim przedmiotem, jak stojące przede mną pudełko, które wystarczy otworzyć, by przekonać się, czy jest puste; no bo albo jest puste, albo nie. Może to być co najwyżej dobrze zamknięte pudełko, tak dobrze, że nie mamy możności sprawdzić tego faktu.

Prędzej zaś zbiór liczb rzeczywistych można by przyrównać do pudełka opisanego w książce. Przypuśćmy, że autor powieści wspomniał, iż Jan dostał od wujka piękne drewniane puzderko... i nie dodał już na ten temat ani słowa. Można zapytać, czy opisana szkatułka była pusta, czy nie: jest to pytanie nie do rozstrzygnięcia. Nasza wiedza o tym fikcyjnym przedmiocie jest za mała, podobnie, jak informacje czerpane z aksjomatów nie opisują zbioru liczb rzeczywistych na tyle dokładnie, by rozstrzygnąć hipotezę continuum. Badaczy, którzy wykazali niezależność hipotezy, można porównać do uważnego czytelnika, który przewertowawszy powieść stwierdzi: nie ma tam ani słowa o zawartości pudełka.

Tak więc żaden demon nie pomoże. Za to każdy ma prawo fantazjować: jeden z czytelników "czuje", że wujek podarował pudełko pełne złotych monet, inny, że stary skąpiec wykpił się pustą szkatułką. Tak samo matematycy: są tacy, którzy "lubią" hipotezę continuum, inni odżegnują się od niej. Pamiętajmy jednak, że w czytanej przez nich pilnie powieści matematyce ze zwykłą automatyką - nie napisano o tym ani słowa...