Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Dwa dowody jednego twierdzenia

Wiktor Bartol

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
  • Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
  • Autor: Wiktor Bartol
    Afiliacja: Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
  • Wersja do druku [application/pdf]: (68 KB)

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych |R nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych N:

Przypomnijmy: zbiory |A i B są równoliczne, gdy istnieje funkcja różnowartościowa z A na B (lub - równoważnie - z B na )A.

Twierdzenie. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych |R nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych N.

Dowód przekątniowy

Gwoli jednoznaczności przyjmijmy, że każdą niezerową liczbę z przedziału |[0, 1] reprezentujemy przez jej rozwinięcie dziesiętne, w którym jest nieskończenie wiele cyfr niezerowych (a więc, na przykład, 1/4 jest reprezentowana przez 0,24(9), a nie |0,25 ). Wówczas każda liczba rzeczywista z przedziału |[0,1] ma dokładnie jedną reprezentację dziesiętną. Niech | f N [0,1] będzie dowolną funkcją z N w przedział domknięty |[0, 1], czyli ciągiem o wyrazach rzeczywistych należących do tego przedziału, i niech | f(k) = 0,ak1ak2ak3..., gdzie |akm oznacza m | -tą cyfrę po przecinku liczby  f (k). Niech dalej

bk = 4, gdy akk ≠4 oraz bk = 5, gdy akk = 4.

Wówczas liczba b = 0,bb b ... 1 2 3 należy do przedziału [0,1] i nie jest wyrazem ciągu  f. Rzeczywiście: |b≠ f (1), bo b1 ≠a11, podobnie |b≠ f(2), bo b2 ≠ a22 i tak dalej. Ogólniej, dla każdej liczby naturalnej |k,bk≠ akk, co oznacza, że |b ≠ f (k).

Wobec dowolności wyboru funkcji  f możemy stwierdzić, że nie istnieje funkcja z N w |[0,1], której zbiór wartości wyczerpywałby przedział |[0, 1] ; tym bardziej nie istnieje funkcja z N na całe R.

Dowód analityczny

Jak poprzednio, niech  f N [0,1] będzie dowolną funkcją z |N w przedział domknięty [0,1], czyli ciągiem o wyrazach rzeczywistych należących do tego przedziału.

Niech  f (k) = ck dla k ∈N. Podzielmy przedział [0,1] na trzy domknięte podprzedziały o długości 1/3 każdy i niech [a ,b ] 0 0 będzie takim z nich, do którego nie należy c0. Tak więc  1 |[a0,b0] ⊂ [0, 1],b0 −a0 = 3 oraz |c0 /∈ [a0,b0]. Załóżmy, że dla k ∈ N zdefiniowaliśmy już przedział |[ak, bk] tak, że [ak,bk] ⊂ [0,1],bk − ak = 31k 1 oraz ck /∈ [ak,bk]. Wówczas dzielimy przedział |[a ,b ] k k na trzy domknięte podprzedziały równej długości i definiujemy |[ak+1,bk+1] jako ten podprzedział, do którego nie należy |ck+1. Mamy wtedy:

 --1- [ak+1,bk+1]⊂ [ak,bk], bk+1− ak+1 = 3k+2 oraz ck+1 /∈ [ak+1,bk+1].

W ten sposób na mocy indukcji otrzymujemy taki ciąg przedziałów |[a ,b ], n n że dla każdej liczby naturalnej n

[an+1,bn+1]⊂ [an,bn] ⊂[0,1], bn − an =--1- oraz cn /∈ [an,bn]. 3n+1

Ciąg |(an) jest niemalejący i ograniczony z góry przez 1, ciąg (bn) jest nierosnący i ograniczony z dołu przez 0, zatem oba te ciągi są zbieżne i mają wspólną granicę, gdyż ciąg (bn − an) dąży do 0; nazwijmy ją |c. Ponadto dla każdej liczby naturalnej n, c∈ [a ,b ], n n podczas gdy |cn /∈ [an, bn]. Wniosek: |c≠ cn dla każdego n.

Tak więc nie istnieje funkcja z N w [0,1], której zbiór wartości wyczerpywałby przedział [0,1] ; tym bardziej nie istnieje funkcja z |N na całe |R.