Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Matematyka małżeństwa

Marek Bodnar

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2014
  • Publikacja elektroniczna: 03-08-2014
  • Autor: Marek Bodnar
    Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (398 KB)

Wydaje się, że nie ma rzeczy mniej logicznych niż uczucia. Czasami trwałe i szczęśliwe związki tworzą ludzie, o których mało kto by wcześniej powiedział, że są dla siebie stworzeni. Z drugiej strony, niejednokrotnie idealne, zdawałoby się, pary rozpadają się po pewnym czasie. W jaki sposób możemy więc przewidzieć dynamikę danego związku? Czy początkowy zachwyt drugą osobą będzie się umacniał, czy wręcz przeciwnie – zmieni się w niechęć? Na te pytania czasem trudno odpowiedzieć psychologom, a w zachowaniu partnerów niejednokrotnie trudno doszukać się logiki. Wydaje się, że angażowanie opartej na logice matematyki do tak trudnego i pozornie nieścisłego problemu jest skazane na porażkę. Okazuje się jednak, że „królowa nauk” nawet w takiej sytuacji jest w stanie wcisnąć swoje trzy grosze.

obrazek

Opiszę tutaj badania przeprowadzone przez grupę amerykańskiego psychologa Johna Gottmana w latach osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku. Pierwszy problem, przed którym stanęli badacze, to pytanie, w jaki sposób za pomocą liczb opisać emocje. W badaniach uczestniczyły 73 pary. Obserwowano ich zachowanie podczas rozmów na różne, budzące emocje tematy (takie jak pieniądze, teściowie, itp.) i zliczano zachowania „pozytywne” (np. humor, szczery uśmiech) i „negatywne” (np. krytyka, agresja). W ten sposób, po każdej takiej rozmowie otrzymywano liczbę będącą różnicą liczby zachowań „pozytywnych” i „negatywnych”, która w jakiś sposób opisywała stan emocjonalny każdego z partnerów.

Postaramy się teraz opisać zmiany stanów emocjonalnych partnerów za pomocą modelu matematycznego. Użyjemy modelu dyskretnego, czyli takiego, w którym stan procesu (tutaj stan emocjonalny każdego z partnerów) jest opisany tylko w pewnych oddalonych w czasie momentach. Dłuższą rozmowę warto arbitralnie podzielić na rundy i wydaje się, że kolejne wypowiedzi każdego z partnerów doskonale nadają się do tego, by po nich zapisać stan emocjonalny rozmówców.

Oznaczmy przez math stan emocjonalny żony, a przez math  stan emocjonalny męża po math rundach. Przyjmijmy także, że to żona rozpoczyna rozmowę. Stan emocjonalny partnerów będzie zmieniał się w czasie i będzie opisany ciągiem liczb math  Przyjmijmy jeszcze jedno założenie: stan emocjonalny partnera po kolejnej rundzie zależy zarówno od jego aktualnego stanu emocjonalnego, jak i od stanu emocjonalnego drugiego z  partnerów. Niech ten wpływ opisują pewne funkcje math i math – ich postać ustalimy później. A zatem stan emocjonalny partnerów opisujemy następującym układem równań:

display-math

Z funkcji math i math wydzielmy część niezależną od drugiego partnera. Bez wpływów zewnętrznych nasze emocje zwykle ulegają wyciszeniu i osiągamy pewien stan równowagi wewnętrznej (który może być różny dla różnych osób – jedni są nastawieni bardziej pozytywnie do życia, inni mniej). Ten składnik najłatwiej jest modelować przez równanie liniowe. Przyjmijmy zatem, że gdyby obok nie było drugiego z partnerów, to stan emocjonalny zmieniałby się zgodnie z równaniem liniowym

display-math(1)

Przyjrzyjmy się zachowaniu rozwiązań jednego z powyższych równań. Mamy math następnie math oraz math Stąd możemy wywnioskować

display-math

Jeśli math to wówczas ciąg math będzie zbliżał się do math czyli stan emocjonalny osoby będzie się ustalał. Z drugiej strony, jeśli math to ciąg nie będzie zbieżny i wartości math będą, co do modułu, coraz większe. Taką osobę, której emocje „nakręcają” się same z siebie, trudno uznać za zdrową psychicznie. Przyjmiemy zatem, że math oraz math

Do równań (1) dodajmy wpływ męża na żonę (i odwrotnie). Otrzymamy model

display-math(2)

obrazek

Przykładowa, „idealna” funkcja wpływu męża na żonę (kolorowa linia ciągła) i bardzo uproszczona (linia przerywana).

Przykładowa, „idealna” funkcja wpływu męża na żonę (kolorowa linia ciągła) i bardzo uproszczona (linia przerywana).

obrazek

Funkcja wpływu męża na żonę użyta przez Gottmana.

Funkcja wpływu męża na żonę użyta przez Gottmana.

Pozostaje nam w jakiś sposób zdefiniować funkcje wpływu męża na żonę math  i żony na męża math  Spróbujmy wyobrazić sobie, jak taka funkcja mogłaby wyglądać. Z odbiorem pozytywnych sygnałów wysyłanych przez partnera jest podobnie jak ze słodzeniem herbaty. Jeśli do herbaty wsypiemy za mało cukru, to nie poczujemy, że posłodziliśmy napój. Z drugiej strony, jeśli wsypiemy do jednej szklanki bardzo dużo cukru (powiedzmy pięć łyżeczek), a do drugiej niewiele więcej (dajmy na to pięć i pół), to różnicy w słodkości napojów w tych dwóch szklankach nie wyczujemy. Zatem funkcja wpływu powinna zmieniać się wolno dla małych wartości emocji (pozytywnych czy negatywnych), potem powinna zmieniać się szybciej, a następnie tempo jej zmian znów powinno zwalniać. Przykład takiej funkcji narysowaliśmy na rysunku obok kolorową linią ciągłą. Chociaż funkcja opisująca odpowiedź na emocje negatywne powinna mieć podobny przebieg, nie musi być ona odbiciem symetrycznym wpływu emocji pozytywnych. Łatwo sobie wyobrazić osobę, która gwałtowniej reaguje na krytykę niż na pochwały lub odwrotnie. Taka „idealna” funkcja ma jednak podstawową wadę: jej kształt nie jest łatwy do opisania, szczególnie jeśli chcemy ją dopasować do danych doświadczalnych (choć, oczywiście, nie jest to niemożliwe). Konstruując model, staramy się uprościć opis sytuacji na tyle, na ile to jest możliwe. Pewnym pomysłem na uproszczenie tej „idealnej” funkcji jest rozpatrzenie funkcji kawałkami stałej (przerywana linia na rysunku). Wówczas zakładamy, że do pewnego momentu partnerzy nie reagują na sygnały drugiej strony, a następnie ich reakcja jest stała.

W swoich badaniach Gottman poszedł jednak inną drogą – przybliżył „idealną” funkcję przez funkcję kawałkami liniową (na dolnym obrazku). To podejście ma tę zaletę, że otrzymana funkcja jest ciągła i opisana jedynie przez dwa parametry: nachylenie prostej na prawo od zera i nachylenie prostej na lewo od zera. A zatem każda z funkcji wpływu będzie opisana dwoma parametrami i będą one dane wzorami:

pict

Zanim krótko omówię wyniki badań grupy Gottmana, zastanówmy się, jakie własności matematyczne ma model (2), gdy funkcje wpływu są kawałkami liniowe. Interesujące jest pytanie, czy istnieją punkty, w pobliżu których wzajemne emocje mogą się ustabilizować, lub w których emocje nie będą się zmieniać. Czyli jeśli math a math  to dla wszystkich math pozostanie prawdą, że math i math  Punkt math o takiej własności nazywa się punktem stacjonarnym układu równań (2). Aby znaleźć punkty stacjonarne wykorzystujemy to, że math i math i podobnie math  i math  oraz równanie (2) i otrzymujemy układ równań:

display-math(3)

Ponieważ funkcje wpływu są kawałkami liniowe, to układ równań (3) jest kawałkami liniowy i moglibyśmy go rozwiązać analitycznie. Jednak ciekawiej i prościej będzie spojrzeć na rozwiązanie tego układu geometrycznie. Zauważmy, że jeśli narysujemy prawe strony równań (3) na płaszczyźnie math to ich przecięcia wyznaczą punkty stacjonarne. Czynniki math i math skalują funkcje wpływu (nachylenia półprostych stają się mniejsze lub większe). Składnik math opisujący stan, do którego zbliżają się emocje żony pozbawione wpływu jej męża, przesuwa wykres tak, że przecina on oś math właśnie w tym punkcie. Podobnie, składnik math przesuwa wykres wzdłuż osi math  Skoro umiemy już wyznaczyć stany stacjonarne, to teraz zbadajmy, jak zachowują się rozwiązania w okolicy tych stanów. Jeśli punkt startowy znajduje się w pobliżu stanu stacjonarnego, to badamy, czy rozwiązanie będzie się (w dłuższej perspektywie) do niego zbliżać (mówimy wtedy, że stan stacjonarny jest asymptotycznie stabilny), czy też oddali się od niego (powiemy wtedy, że punkt stacjonarny jest niestabilny). W pobliżu stanu stacjonarnego układ równań (2) przyjmuje postać

display-math(4)

gdzie math jest równe math jeśli math i math jeśli math Podobnie, math jest równe math jeśli math i math jeśli math Żeby zobaczyć, co się dzieje w pobliżu stanu stacjonarnego, wprowadzimy nowe zmienne math i math  opisujące odchylenie od stanu stacjonarnego. Mamy:

display-math

Wstawiając te równości do równania (4) i wykorzystując fakt, że spełnione są równania (3), otrzymujemy

display-math(5)

Wstawiając pierwsze równanie (5) do drugiego (by pozbyć się math), otrzymujemy

display-math(6)

Poszukajmy teraz rozwiązań (6) postaci

display-math(7)

Wstawiając do (6) i przekształcając, otrzymujemy układ równań

display-math

Aby ten układ miał niezerowe rozwiązania (a właściwie nieskończenie wiele niezerowych rozwiązań), potrzebujemy, aby stosunek współczynnika przy math do współczynnika przy math  był taki sam w obu równaniach. Zatem musi zachodzić

display-math

czyli

display-math(8)

Ponieważ rozwiązania są postaci (7), to aby zbliżały się do zera (czyli math i math  do math i math), potrzebujemy, by rozwiązania równania (8) były co do modułu mniejsze od jedynki.

obrazek

Stwierdzenie 1. Niech math Jeżeli math lub math to rozwiązania math równania (8) rzeczywiste i jeśli dodatkowo

display-math(9)

to math i math

Dowód. Obliczmy najpierw wyróżnik równania kwadratowego (8)

display-math

Jeśli math to oczywiście math Podobnie, jeśli math to math Aby przekonać się, że stwierdzenie jest prawdziwe, musimy wykazać, że większy co do modułu pierwiastek równania (8) jest mniejszy od math lub większy od math Przypuśćmy, że math Wówczas większym co do modułu pierwiastkiem jest ten z plusem przy math Zatem musimy wykazać,  że

display-math(10)

Zauważmy, że nierówność (9) możemy zapisać jako

display-math

To dowodzi, że prawa strona nierówności (10) jest dodatnia i możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu, co po skróceniu wyrazów sprowadzi ją do założonej nierówności (9).


Uwaga 1. Zauważmy, że jeśli math i math to

display-math

Zatem dla dodatnich math math i math teza Stwierdzenia 1 jest spełniona.

Gottman ze swoim zespołem na podstawie obserwacji wyznaczył dla każdej z par kąty nachylenia funkcji wpływu oraz wielkości math i math Następnie wyznaczono stany stacjonarne i ich stabilność. Okazało się, że położenie stabilnego stanu stacjonarnego ma kluczowe znaczenie. Dla par zakwalifikowanych wcześniej przez psychologów jako pary wysokiego ryzyka (zagrożone rozpadem związku) przynajmniej jedna ze współrzędnych stabilnego stanu stacjonarnego była ujemna, a druga była bliska zeru lub także ujemna. Dla par niskiego ryzyka stabilny stan stacjonarny znajdował się w pierwszej ćwiartce. Ponadto, wśród badanych osób można było wyróżnić trzy podtypy różniące się nachyleniami funkcji wpływu: wyraźnie dodatnie nachylenie obu liniowych części funkcji wpływu (pozytywna reakcja na pozytywne emocje i negatywna reakcja na negatywne emocje), wyraźnie dodatnie nachylenie prawej części funkcji wpływu (pozytywna reakcja na pozytywne emocje) i bliskie zeru nachylenie lewej części funkcji wpływu (słaba reakcja na negatywne emocje) oraz bliskie zeru nachylenie prawej części funkcji wpływu (słaba reakcja na pozytywne emocje) i wyraźnie dodatnie nachylenie lewej części funkcji wpływu (negatywna reakcja na negatywne emocje). Pary niskiego ryzyka miały podobne (tego samego typu) funkcje wpływu męża i żony. Z drugiej strony, funkcje wpływu partnerów z par wysokiego ryzyka zdają się pochodzić z różnych podtypów, czyli są do siebie niedopasowane. To owocuje ujemnym stabilnym stanem stacjonarnym. Wyniki tych badań sugerują hipotezę, że pary, których związek zdąża do rozpadu, nie wypracowały schematu, jak mają na siebie wpływać, a większość ich sporów dotyczy tego, w jaki sposób powinni się kłócić czy rozmawiać ze sobą.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24