Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O spinach i genach

Jacek Miękisz

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: maj 2015
  • Publikacja elektroniczna: 30-04-2015
  • Wersja do druku [application/pdf]: (388 KB)

Czego można się nauczyć, studiując na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW?
Odpowiedź krótka: wszystkiego tego, co można sformułować precyzyjnie w języku matematyki, czyli wszystkiego.
Odpowiedź praktyczna: tego, czym się zajmują nasi pracownicy - kilka przykładów przedstawimy w tym i następnych artykułach.

obrazek

Odpowiedź konkretna: na przykład, zachowania się układów wielu oddziałujących obiektów. Ja zajmuję się tym przez całe życie, ciągle tym samym, a jednak za każdym razem czymś innym. Na początku były to oddziałujące atomy oraz cząsteczki tworzące kryształy i inne ciała stałe, potem nastał czas graczy (czasami nazywanych agentami) - czyli ludzi lub zwierząt - w teorii gier ewolucyjnych, a teraz są to głównie białka w matematycznych modelach regulacji genów.

Każdy z tych obiektów oddziałuje z innymi obiektami znajdującymi się w pewnym sąsiedztwie. Zachowanie danego obiektu zależy od jego położenia, prędkości i innych charakterystyk, zwanych stanami tej cząstki lub osobnika, ale też od stanu obiektów, z którymi oddziałuje. Ruch oddziałujących cząstek opisują równania Newtona - równania różniczkowe II zasady dynamiki znane Wam z liceum (zapewne byliście nieświadomi, że spotkaliście już wtedy na swojej drodze równania różniczkowe). Przypomnijmy: zmiana stanu danego obiektu zależy od jego stanu i od stanów wszystkich obiektów, z którymi oddziałuje, a zmiana ich stanów zależy od stanu danego obiektu itd., itd. W tym momencie być może niektórym z Was przypominają się wypowiedzi Russella Crowe'a, czyli Johna Nasha z filmu Piękny umysł. Jak chcecie się dowiedzieć, czym różnią się równowagi Nasha oddziałujących graczy od stanów równowagowych oddziałujących cząstek w fizyce statystycznej, to przyjdźcie na nasz wydział, niecierpliwym polecam notatki do wykładu Modele matematyki stosowanej [1].

W układach bardzo wielu oddziałujących obiektów niemożliwe jest śledzenie każdego z nich, niemożliwe jest analityczne rozwiązanie odpowiednich równań, a nawet gdybyśmy rozwiązali je numerycznie, to bylibyśmy przytłoczeni kosmiczną ilością danych liczbowych. Naszym celem może być obliczenie średniego zachowania, czyli - jak to mówią matematycy - wartości oczekiwanej. I to, niestety, też jest trudne zadanie.

Nadszedł czas, aby przedstawić głównego aktora naszej opowieści - pole średnie. Otóż niezwykle prosty pomysł polega na tym, aby oddziaływanie danego obiektu z innymi obiektami przedstawić jako oddziaływanie danego obiektu z (nieznanym) średnim otoczeniem wytworzonym przez pozostałe obiekty. Powtórzmy: otrzymany w ten sposób układ to jeden obiekt oddziałujący z uśrednionym otoczeniem. W tak prostym układzie względnie łatwo jest obliczyć jego średni stan. Otrzymany wzór zawiera nieznane pole średnie, a więc jest de facto równaniem na nieznaną wartość pola średniego. Możemy rozwiązać to równanie, czyli - jak mówią fizycy - samouzgodnić pole średnie, które musi być równe średniemu stanowi naszego wyjściowego obiektu.

Proste, nieprawdaż? Ale, jak powszechnie wiadomo, diabeł tkwi w konkretnych przykładach. Zobaczymy, że nie taki on straszny.

Przykład 1: Dlaczego istnieje magnes?

obrazek

Rys. 1 Namagnesowanie jako funkcja temperatury

Rys. 1 Namagnesowanie jako funkcja temperatury

Fizycy wiedzą, że podgrzany magnes traci swoje własności magnetyczne. Zjawisko to stara się wyjaśnić teoria ciała stałego, dział fizyki zajmujący się własnościami ciał makroskopowych. W bardzo dużym uproszczeniu przyjmujemy, że namagnesowanie ciała jest sumą wektorową małych magnesów związanych z jego poszczególnymi atomami. Z jednej strony, siły oddziaływań pomiędzy magnesikami prowadzą do ich ułożenia wzdłuż jednego kierunku. Sąsiednie magnesiki lubią układać się w tym samym kierunku (wtedy mają najmniejszą energię i tak - od sąsiada do sąsiada - ta chęć naśladowania trafia do wszystkich). Z drugiej strony, ruchy cieplne atomów zaburzają ten idealny porządek. Wynikiem tych dwóch przeciwstawnych oddziaływań jest ustalenie się równowagowego namagnesowania ciała. Wynikałoby z tego, że namagnesowanie jest malejącą funkcją temperatury, zbiegającą do zera wraz z jej wzrostem. Okazuje się jednak, jak to widzimy na rysunku 1, że istnieje temperatura krytyczna, tak zwana temperatura Curie, powyżej której ciało całkowicie traci własności magnetyczne - mamy do czynienia z przejściem fazowym. Nasze pierwsze ćwiczenie w używaniu pola średniego pozwoli nam wyjaśnić to niezwykle ciekawe i nieintuicyjne zjawisko.

Magnes matematyczny - ferromagnetyczny model Isinga

W modelu Isinga oddziałujące obiekty - magnesiki - umieszczone są w węzłach regularnej kraty sześciennej |Z3, gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych. W każdym węźle |i∈Z3 umieszczamy matematyczną reprezentację | σi magnesiku, zmienną mogącą przyjmować dwie wartości: |+1 (magnesik skierowany do góry) i |−1 (magnesik skierowany do dołu). Zmienną σi nazywamy spinem w węźle |i. Niech ⊂Z3 |Λ będzie skończonym podzbiorem węzłów naszej kraty. Ω jest zbiorem konfiguracji na  | , Λ czyli zbiorem wszystkich funkcji przypisujących węzłom spin skierowany do góry lub do dołu. A teraz najważniejsza rzecz: jak oddziałują ze sobą spiny. O tym mówi hamiltonian, czyli funkcja na Ω przypisująca energię konfiguracjom na . |Λ Przyjmujemy, że oddziałują ze sobą spiny, które są najbliższymi sąsiadami,

H

gdzie ⟨i, j⟩ jest parą najbliższych sąsiadów, a h > 0 jest zewnętrznym polem magnetycznym.

Hamiltonian w mechanice klasycznej oddziałujących cząstek jest sumą ich energii kinetycznych i energii potencjalnej oddziaływań między nimi. W powyższym wyrażeniu nie uwzględniamy energii kinetycznej.

Nasz układ spinowy podlega nieustannym ruchom cieplnym i w związku z tym nawet w równowadze jest układem stochastycznym. Powinniśmy więc określić prawdopodobieństwa przebywania układu w każdym z mikroskopowych stanów, czyli elementów zbioru | Ω Wszelkie makroskopowe wielkości fizyczne, takie jak energia czy namagnesowanie układu, są więc zmiennymi losowymi na |Ω Interesować nas będą wartości oczekiwane tych zmiennych losowych. Wprowadzamy następujący rozkład prawdopodobieństwa,

−1TH X- )=e, ρT,h,Λ (X Z(T,h,Λ)

gdzie T jest temperaturą układu, czyli miarą jego ruchów cieplnych, a

)=Qe−1TH X- Z(T ,h,Λ X>Ω

jest czynnikiem normalizującym prawdopodobieństwo. W fizyce ) Z(T ,h,Λ nazywane jest sumą statystyczną, natomiast |ρT,h,Λ - wielkim rozkładem kanonicznym albo stanem Gibbsa. Ciekawy świata Czytelnik może znaleźć uzasadnienie wprowadzenia takiego, a nie innego rozkładu prawdopodobieństwa we wspomnianych już notatkach.

obrazek

Definiujemy teraz zmienną losową namagnesowania układu:

1 =Qσi. M Λ i>Λ

Aby uniknąć niepotrzebnych, drugorzędnych problemów technicznych, wprowadzamy periodyczne warunki brzegowe, a więc zwijamy Λ w trójwymiarowy torus. Na wartość oczekiwaną m zmiennej losowej M | w stanie Gibbsa otrzymujemy wtedy wyrażenie

>Ω)e1T(P`i;je>σiXσjX+hPi>σiX) m )

gdzie 0 jest dowolnym węzłem, . 0 ∈ Λ

Występowanie w sumie P`i, jeσiσ j iloczynów σiσ j, a więc oddziaływań między spinami, nie pozwala znaleźć wzoru na |m. Na pomoc przychodzi pole średnie. Zmieniamy |σ j w powyższych iloczynach na (nieznaną) wartość oczekiwaną m. Każdy spin oddziałuje z sześcioma sąsiednimi spinami, co oznacza, że zastępujemy P`i,je | σiσ j przez |Pi> Λ3m (uwaga: aby nie uwzględniać dwa razy oddziaływania pomiędzy spinami w węzłach |i i | j piszemy |3 zamiast 6 ). Czytelnik łatwo zauważy, że zarówno licznik, jak i mianownik można przedstawić za pomocą odpowiednich iloczynów, i po prostych przekształceniach otrzyma równanie

m

gdzie  ex − e−x tgh x =--x---−x. e + e Zauważmy, że zewnętrzne pole magnetyczne h zostało zmodyfikowane przez średnie pole |3m, które interpretujemy jako efektywne pole pochodzące z uśrednienia oddziaływań danego spinu. Jesteśmy w szczególny sposób zainteresowani przypadkiem zerowego pola zewnętrznego, h = 0, to znaczy namagnesowaniem spontanicznym. Aby dostać w takim przypadku samouzgodnioną wartość m, musimy rozwiązać równanie

m (1)

obrazek

Rys. 2 Graficzne rozwiązanie równania pola średniego (1).

Rys. 2 Graficzne rozwiązanie równania pola średniego (1).

Możemy je rozwiązać graficznie. Znajdujemy przecięcie wykresu funkcji | f(m) i linii prostej y = m (patrz rysunek 2). Łatwo zauważyć, że dla T > 3 oba wykresy przecinają się tylko w jednym punkcie m Jeśli jednak T < T = 3, C wykresy przecinają się w trzech punktach i w ten sposób dostajemy trzy rozwiązania: m i m gdzie m0(T jest dodatnim namagnesowaniem. |TC jest krytyczną temperaturą Curie, w której zachodzi przejście fazowe. Rysunek 1 to wniosek z rysunku 2; nasz cel został osiągnięty.

Można udowodnić, że dla T < TC rozwiązanie m | jest termodynamicznie niestabilne. Współistnienie dwóch rozwiązań m jest wynikiem symetrii hamiltonianu (w przypadku zerowego pola zewnętrznego, h = 0 ) ze względu na odwrócenie spinów σi −σi. Oznacza to, że w temperaturze niższej od krytycznej współistnieją dwa makroskopowe stany równowagowe naszego magnesu.

Przykład 2: Samoograniczający się gen

obrazek

Produkcja białek w komórkach jest wynikiem różnych biochemicznych procesów. Umożliwiają one różnicowanie się komórek i ich odpowiedź na zmieniające się środowisko. O tym, jakie białko powstanie, decyduje informacja genetyczna zapisana w DNA. W najprostszym modelu produkcji białka, czyli - jak to mówią biolodzy - ekspresji genu, w każdym momencie może zajść jedno z dwóch zdarzeń: produkcja lub degradacja jednej cząsteczki białka. Opisujemy to matematycznie stochastycznymi procesami urodzin i śmierci. W procesie takim stan komórki w każdej chwili jest określony przez liczbę cząsteczek białka. Zmiany stanu w czasie zachodzą z odpowiednimi prawdopodobieństwami. Zakładamy, że jeśli w czasie |t w komórce było |n cząsteczek białka, to

  • Prawdopodobieństwo produkcji (urodzin) jednej cząsteczki w odcinku czasowym (t,t+ h) wynosi kh + o(h),
  • Prawdopodobieństwo degradacji (śmierci) jednej cząsteczki w odcinku czasowym | (t,t+ h) wynosi | γnh + o(h),
  • Prawdopodobieństwo wystąpienia więcej niż jednej zmiany (reakcji) w odcinku czasowym (t,t+ h) wynosi |o(h),

gdzie k i |γ to intensywności produkcji i degradacji, a o(h) jest wielkością mniejszego rzędu niż h, to znaczy |limh 0o(h)/h = 0.

Oznaczmy przez  f (n,t) prawdopodobieństwo tego, że w komórce w chwili |t jest |n cząsteczek białka. Naszym celem jest znalezienie wzoru na wartość stacjonarną, czyli niezależną od czasu | f (n), albo przynajmniej na wartość średnią liczby cząsteczek białka,  ∞ P n 0n f (n). Aby coś obliczyć, trzeba na to coś ułożyć równanie i, oczywiście, potem je rozwiązać. By w komórce było n cząsteczek w chwili |t+ h, powinno być | n− 1 cząsteczek w chwili | t i jedna cząsteczka powinna być wyprodukowana w czasie |h lub |n +1 cząsteczek w chwili |t i jedna cząsteczka powinna zdegradować w czasie h lub n cząsteczek w chwili t i nic nie powinno się zdarzyć w czasie h.

Możemy napisać wyrażenie na prawdopodobieństwo całkowite:

 f n,t h khf n 1,t n 1 γh f n 1,t 1 kh n γh f n,t o h , dla n E 1, f 0,t h γh f 1,t 1 kh f 0,t o h .

Przenosimy teraz  f (n,t) na lewą stronę, dzielimy przez h, przechodzimy do granicy h 0, dostajemy pochodną jako granicę ilorazu różnicowego, czyli po prostu prędkość zmian prawdopodobieństwa, i ostatecznie otrzymujemy nieskończony układ równań różniczkowych zwyczajnych:

⎧ d f -n,t-- ⎪⎪⎪ dt = k f (n −1,t)+ (n + 1)γ f(n +1,t)− (k + nγ) f(n, t),n ⩾ 1, ⎨⎪ d f -0,t-- ⎪⎪⎩ dt = γ f (1,t) −kf (0,t), (2)

powiedzmy, z warunkiem początkowym | f(0,0) = 1. Jest to słynne równanie M.

Nie będziemy go rozwiązywać. Interesować nas będzie stan stacjonarny | f(n), w którym wpływy i wypływy w księgowaniu prawdopodobieństw równoważą się. Funkcja  f(n) jest rozwiązaniem nieskończonego układu równań algebraicznych, opisujących równowagę globalną, uzyskanych z (2) przez przyrównanie do zera pochodnych czasowych.

Rozwiążemy powyższy układ równań krok po kroku. Z równania na  f(0) dostajemy |k f(0) = γ f(1), z równania na  f (0) i uwzględnieniu poprzedniej relacji dostajemy k f(1) = 2γ f(2). Czytelniku, proszę, sprawdź, że dla dowolnego n > 1 mamy kf (n) = (n+ 1)γ f(n + 1). Łatwo zrozumieć, dlaczego relacje takie nazywamy warunkami równowagi szczegółowej. Teraz już szybko zdążamy do mety, czyli do wzoru na rozkład prawdopodobieństwa | f(n). Wyznaczamy kolejno z powyższych wzorów | f(n) = f(0)(k/γ)n/n! i po uwzględnieniu warunku, że suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1, otrzymujemy

 ( k)n f(n) =--γ--e−k-. n!

Jest to słynny rozkład Poissona.

obrazek

Rys. 3 Samoograniczający się gen, α,β,ki,γ są odpowiednio intensywnościami odłączania i przyłączania białka do promotora, produkcji i degradacji białka.

Rys. 3 Samoograniczający się gen, α,β,ki,γ są odpowiednio intensywnościami odłączania i przyłączania białka do promotora, produkcji i degradacji białka.

Ale życie, czyli biologia, nie jest takie proste. Okazuje się, że bardzo często gen sam siebie ogranicza. Dzieje się to w ten sposób, że cząsteczka białka może związać się z pewną częścią DNA zwaną promotorem i ograniczyć jego ekspresję, czyli produkcję następnych cząsteczek. W modelu matematycznym przyjmujemy, że DNA może znajdować się w dwóch stanach: stanie związanym, oznaczanym przez |1 i w stanie wolnym |0. W stanie wolnym produkcja białka zachodzi z intensywnością k0, a w stanie związanym - z intensywnością |k1 (rysunek 3).

Stan naszej komórki jest teraz dodatkowo opisany przez | fi(n), i∈{0, 1}, i jest łącznym prawdopodobieństwem tego, że w komórce w chwili |t jest |n cząsteczek białka, a DNA jest w stanie i. Wtedy dla |n⩾ 1 równanie M ma następującą postać:

⎧⎪⎪⎪d f0- nd,tt = k0 f0(n − 1,t) + (n+ 1)γ f0(n +1,t)− (k0 +n γ) f0(n,t)+ α f1(n,t) −n β f0(n,t), ⎨ ⎪⎪⎪d f1- nd,tt-= k1 f1(n− 1,t)+ nγ f1(n +1,t) −(k1 +(n − 1)γ) f1(n, t) − α f1(n,t)+ nβ f0(n, t), ⎩

gdzie |α jest intensywnością odłączania białka od promotora, a |β intensywnością przyłączania. Zauważmy, że zgodnie z obserwacjami biologicznymi związana cząsteczka białka nie ulega degradacji.

obrazek

Okazuje się, że powyższego układu równań nie możemy rozwiązać nawet w stanie stacjonarnym. Łatwo sprawdzić, że nie są spełnione warunki równowagi szczegółowej. I znowu na pomoc przychodzi pole średnie. Zastępujemy n w składnikach opisujących przełączanie się genu między dwoma stanami przez jego nieznaną wartość oczekiwaną.

Niestety, nadal nie umiemy rozwiązać równania M w stanie stacjonarnym (brak równowagi szczegółowej nadal nam doskwiera), ale przynajmniej dostajemy - tak jak w modelu Isinga - równanie (dokładniej: układ równań) na nieznaną wartość oczekiwaną. Rozwiązujemy równania i dostajemy wzór na wartość oczekiwaną liczby cząsteczek białka w stanie stacjonarnym, a to zawsze cieszy matematyków i mamy nadzieję, że również będzie cieszyć biologów. Kończy nam się czas i przestrzeń przeznaczona na rozważania o polu średnim dla samoograniczającego się genu, zaciekawionych Czytelników odsyłamy znowu do naszych notatek i do artykułu naukowego [1, 2], a także do [3].

O innych ciekawych zastosowaniach matematyki można przeczytać w artykułach Marka Bodnara, Urszuli Foryś i Pawła Matejka w sierpniowym numerze Delty w 2014 roku oraz Witolda Sadowskiego w numerze grudniowym. I oczywiście przeczytajcie w tym numerze artykuł Tadeusza Płatkowskiego o dylematach społecznych, Wojciecha Niemiry o spacerach i polimerach oraz Piotra Dittwalda o (nie)prawdopodobnych izotopach. I do zobaczenia na Banacha (wejście od Pasteura).