Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co ma wspólnego bryła Wulffa z płatkami śniegu?

Piotr Rybka

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: sierpień 2017
  • Publikacja elektroniczna: 30 lipca 2017
  • Autor: Piotr Rybka
    Afiliacja: Zakład Równań Fizyki Matematycznej, IMSM, WMIM, Uniwersytet Warszawski
  • Wersja do druku [application/pdf]: (153 KB)
obrazek

Drogi Czytelniku, jeśli popatrzysz na płatki śniegu, to zobaczysz wielką ich rozmaitość. Bogactwo znanych kolekcji zdjęć śnieżynek mówi nam, że nie ma dwóch identycznych płatków śniegu. Możesz zapytać, czy możemy skatalogować pokrój kryształków lodu i wyjaśnić ich kształt?

obrazek

Diagram Nakai.

Diagram Nakai.

Klasyfikacji służy diagram, którego autorem jest Ukichiro Nakaya, opisujący pokrój kryształka w zależności od dostępności pary wodnej i temperatury otoczenia. Próba wyjaśnienia tego pokroju odwołuje się do pojęcia energii powierzchniowej. Gdy oglądamy śnieżynkę ze środka jej symetrii, to widzimy, że nie we wszystkich kierunkach rośnie ona z taką samą prędkością. Innymi słowy, energia konieczna do zbudowania jednego metra kwadratowego powierzchni kryształka (lub metra bieżącego, jeśli mówimy o całkowicie płaskich śnieżynkach) zależy od kierunku n. Tę energię będziemy oznaczali symbolem φ(n).

Ograniczmy się tylko do płaskich śnieżynek. Możemy wtedy zapytać, czy znajomość gęstości energii powierzchniowej, |φ, wystarcza do odtworzenia równowagowego kształtu śnieżynki. W uproszczeniu powiemy, że jest to stan, którego śnieżynka nie będzie chciała zmienić przy ustalonej wilgotności powietrza. Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Georg Wulff podał geometryczną konstrukcję bryły równowagowej, Wφ , nazywanej obecnie bryłą Wulffa. Konstrukcja została zamieszczona w pracy z początku XX wieku [1].

Do konstrukcji bryły Wulffa potrzebna jest, znana już nam, funkcja gęstości energii zależąca od kąta θ, jaki tworzy wektor jednostkowy n z osią .OX Ścisła definicja jest następująca,

Wφ = {(x,y) ∈R2 (x, y)⋅(cosθ ,sin θ) ⩽φ (θ), ∀ θ ∈[0,2π)}.

Geometrycznie rzecz ujmując, postępujemy następująco: w każdym punkcie |z należącym do wykresu biegunowego funkcji φ prowadzimy prostą prostopadłą do promienia. Wtedy bryła Wulffa składa się z punktów, które mogą być osiągnięte, gdy startujemy z początku układu współrzędnych, bez przekraczania żadnej z tych linii.

Konstrukcja Wulffa prowadzi do wypukłego zbioru Wφ , niezależnie od właściwości φ . Okazuje się, że Wφ jest kulą jednostkową w metryce powiązanej z φ .

Kształt śnieżynki, wypuszczającej coraz to nowe gałęzie, wyraźnie wskazuje, że ma ona tendencję wzrostową. Nie ma ona kształtu równowagowego. Możesz zatem, Czytelniku, dociekać, jak te widoczne kształty uzyskać. Są dwie odpowiedzi na to pytanie: doświadczalna i teoretyczna.

obrazek

Ukichiro Nakaya (1900-1962) stworzył pierwszy sztuczny płatek śniegu.

Ukichiro Nakaya (1900-1962) stworzył pierwszy sztuczny płatek śniegu.

Okazuje się, że używany obecnie zestaw doświadczalny do hodowania w domu płatków śniegu jest bardzo prosty i zasadniczo składa się ze styropianowej skrzyni, w której przechowujemy suchy lód, czyli zestalony dwutlenek węgla, plastikowej butelki po napojach, nitki i pyłu np. z dymu papierosowego. Po raz pierwszy płatki śniegu zostały wyhodowane w Japonii na zasypanej zimą śniegiem wyspie Hokkaido przez wspomnianego Nakayę w roku 1936.

obrazek

Bryła z pracy [2] Barretta, Garckego, Nürenberga.

Bryła z pracy [2] Barretta, Garckego, Nürenberga.

Podejście teoretyczne wykorzystuje matematyczny opis procesu krystalizacji, który fachowo nazywa się jednofazowym zmodyfikowanym zagadnieniem Stefana z kinetycznym przechłodzeniem. Jest to bilans masy i energii zapisany za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Z uwagi na to, że wspomniany opis jest skomplikowany, pominiemy go całkowicie. Podkreślimy natomiast jedną ważną rzecz, że w skład tego opisu wchodzi człon opisujący krzywiznę krzywej będącej brzegiem śnieżynki. Ów człon jest zgodny z geometrią, w której bryła Wulffa jest kulą jednostkową.

Wspomniany opis można doprowadzić do postaci dyskretnej, takiej, z którą poradzi sobie komputer. Tę pracę wykonali John Barrett, Harald Garcke i Robert Nürenberg. Ich sukces polega na tym, że odpowiednio dobierając parametry fizyczne, zdołali odtworzyć kształty spotykane w naturze. Niektóre z nich są naprawdę zaskakujące.

Morał z tej opowieści jest taki, że fizyka wspólnie z matematyką, wspomagane komputerami, są zdolne całkiem dokładnie opisywać rzeczywistość. Naukowcy robią to nie tylko z ciekawości, ale i po to, aby nauczyć się sterować procesami przemysłowymi w optymalny sposób. Dziś naukowcy z Uniwersytetu Warszawskiego kontynuują dzieło rozpoczęte ponad sto lat temu przez Wulffa, zajmując się różnymi aspektami opisywanych wyżej procesów.


Do czytania
[1]
G. Wulff, Zur Frage der Geschwindigkeit des Wachstums und der Auflösung der Krystallflächen, Zeitschrift f. Krystall. Mineral. 34, (1901), 449-530.
[2]
J. W. Barrett, H. Garcke, R.Nürenberg, Finite Element Approximation of One-Sided Stefan Problems with Anisotropic, Approximately Crystalline, Gibbs-Thomson Law, Adv. Differential Equations 18 (2013), no. 3-4 , 383-432