Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Harmonia w muzyce – skąd się bierze?

Maciej Zalewski

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2009
  • Publikacja elektroniczna: 02-06-2014
  • Autor: Maciej Zalewski
    Afiliacja: Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski

Słysząc jakiś dźwięk, zwykle jesteśmy w stanie łatwo określić, czy jest to dźwięk ładny, „muzyczny”, czy zwykły hałas. Co więcej, jeżeli zagramy razem dwa dźwięki, np. na fortepianie, czujemy, kiedy one dobrze współbrzmią, a kiedy nie. Dlaczego tak się dzieje?

Dźwięk to fala ciśnienia powietrza. Najprostsza, sinusoidalna fala jest charakteryzowana przez prędkość math częstość math (lub długość math) i amplitudę math

display-math(1)

Oczywiście, prawdziwe fale dźwiękowe, z którymi mamy do czynienia w życiu codziennym, mają bardziej skomplikowaną strukturę. Przedmioty emitujące dźwięki nie drgają z jedną konkretną częstością. Generowana przez nie fala jest raczej superpozycją, czyli złożeniem fal sinusoidalnych o różnych częstościach:

display-math(2)

Fale sinusoidalne są składnikami, które można łączyć w różnych proporcjach, uzyskując różne dźwięki. Od tego, w jaki sposób fale te poskładamy, zależy to, czy uzyskamy hałas, czy też ładny, „muzyczny” dźwięk. Odwrotnie, każdą falę można też rozłożyć na „czynniki pierwsze” zwane czasem modami, czyli wyznaczyć częstości i amplitudy fal sinusoidalnych, które ta fala zawiera.

Ponieważ energia drgań harmonicznych jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy wychyleń, kwadraty amplitud fal sinusoidalnych o poszczególnych częstościach mówią nam, jaka energia zawarta jest w poszczególnych modach. Wykres zależności amplitud od częstości to tzw. widmo mocy.

Przykłady różnych widm mocy możemy obejrzeć na rysunkach 1 i 2. Nietrudno scharakteryzować różnice między nimi. Dźwięk helikoptera, który odbieramy jako hałas, zawiera w widmie mocy „gąszcz” składowych o prawie wszystkich możliwych częstościach, natomiast widmo mocy skrzypiec ma tych składowych niewiele i są one regularnie poukładane. Właśnie ta regularność widma odpowiada za to, że dźwięk skrzypiec „nadaje się” do tworzenia muzyki, czyli ma określoną wysokość. Widać wyraźnie, że dźwięk skrzypiec składa się z fal o częstościach będących wielokrotnościami pewnej częstości podstawowej (nazywamy je składowymi harmonicznymi). To właśnie częstość podstawowa decyduje o wysokości dźwięku.

obrazek

Rys. 1 Widmo mocy dźwięku helikoptera.

Rys. 1 Widmo mocy dźwięku helikoptera.

obrazek

Rys. 2 Widmo mocy dźwięku skrzypiec.

Rys. 2 Widmo mocy dźwięku skrzypiec.

Zastanówmy się przez chwilę, skąd bierze się takie widmo mocy. W strunie skrzypiec powstają fale stojące. Ponieważ struna nie może drgać na końcach, długość fali musi być taka, by wielokrotność połówki długości fali równała się długości struny. Długości fal w strunie o ustalonej długości to: math więc częstości to math Pobudzając strunę do drgań, pobudzamy różne mody z różnymi amplitudami. To, jakie są amplitudy poszczególnych modów, decyduje o barwie dźwięku.

Uznaje się, że dobre współbrzmienia pojawiają się wtedy, gdy harmoniczne dwóch dźwięków w jakimś stopniu pokrywają się. Dzieje się tak, gdy stosunek częstości wynosi math  gdzie math  i  math  to względnie pierwsze liczby naturalne. Im mniejsza jest wspólna wielokrotność math i  math  tym więcej wspólnych składowych mają te dźwięki.

W muzyce odległość między dźwiękami nazywamy interwałem. Fizycznie interwał jest po prostu stosunkiem częstości podstawowych dźwięków. Najprostszym interwałem jest oktawa. Odpowiada ona stosunkowi częstości math Oznacza to, że co druga harmoniczna danego dźwięku pokrywa się z harmoniczną dźwięku o oktawę wyższego (rysunek 3). Można więc powiedzieć, że jeśli zagramy te dwa dźwięki naraz (np. math i  math), uzyskamy dźwięk, który w zasadzie ma taką samą wysokość, jak dźwięk niższy, a różni się pełniejszym, bogatszym brzmieniem. Każdy dźwięk ma swój odpowiednik o oktawę wyższy, więc by stworzyć skalę, wystarczy poszukiwać dźwięków w ramach jednej oktawy, tzn. takich, które w stosunku do naszego wyjściowego C mają większą częstość, ale co najwyżej dwa razy.

W przypadku innych interwałów harmoniczne też mogą się w pewnej mierze pokrywać. Jeżeli zagramy dwa dźwięki o stosunku częstości podstawowych math co trzecia harmoniczna dźwięku niższego będzie się pokrywać z co drugą harmoniczną dźwięku wyższego (rysunek 4).

Interwał odpowiadający stosunkowi częstości math nazywamy kwintą. Kwinta w górę od math to dźwięk math A jaka jest odległość między math i  math Można to wyliczyć, dzieląc stosunek częstości między math a  math przez stosunek między math i  math: math Ten interwał nazywamy kwartą. Kwarta w górę od math to dźwięk, który nazywamy math Mamy więc stosunki częstości równe: math i  math więc kolejnym może być math czyli tercja wielka (i oczywiście dopełniająca ją do oktawy seksta mała: math). Tercja wielka od math wyznacza nam math (rysunek 4).

Kwinta i tercja wielka wystarczą, by zbudować podstawowy akord: trójdźwięk durowy, zawierający oba interwały. Akord C-dur składa się z dźwięków C-E-G. Trójdźwięk durowy to w pewnym sensie podstawowa „jakość” w harmonii. Co uzyskamy, jeżeli zbudujemy trójdźwięk durowy, zaczynając od math Dokładając do kwarty kwintę, mamy oktawę, a dokładając tercję, mamy nowy interwał – sekstę wielką math która wyznacza nam nowy dźwięk A. Akord F-dur składa się więc z dźwięków F-A-C. Z jakich dźwięków składa się w takim razie G-dur? Dokładając do kwinty math tercję wielką, mamy nowy interwał: septymę wielką math i dźwięk H. Dokładając kwintę, mamy math czyli więcej niż dwa. Możemy jednak obniżyć ten dźwięk o oktawę i uzyskamy sekundę wielką math i dźwięk D. Akord G-dur zawiera więc dźwięki G-H-D.

Układając wszystkie dotychczas uzyskane przez nas dźwięki w kolejności rosnącej częstości, uzyskamy skalę C-dur: C-D-E-F-G-A-H-C, w której dźwięki pochodzą z trzech akordów: tzw. toniki C-dur, dominanty G-dur i subdominanty F-dur. Skala ta odpowiada białym klawiszom fortepianu.

Jaka jest odległość między drugim i trzecim dźwiękiem akordu durowego? Interwał ten nazywamy tercją małą, która (jak Czytelnik Wnikliwy może sprawdzić) odpowiada stosunkowi math Akord, który zamiast tercji wielkiej ma tercję małą, to akord molowy. Prostym rachunkiem można pokazać, że z dźwięków skali C-dur można zbudować trzy akordy molowe: a-moll (A-C-E), d-moll (D-F-A) i e-moll (E-G-H).

obrazek

Rys. 3 Dwa dźwięki C w interwale oktawy.

Rys. 3 Dwa dźwięki C w interwale oktawy.

obrazek

Rys. 4 Dźwięki tworzące akord C-dur: C-E-G.

Rys. 4 Dźwięki tworzące akord C-dur: C-E-G.

Można sprawdzić, że próba zbudowania akordów molowych c-moll, f-moll i g-moll lub durowych A-dur, D-dur i E-dur, wyprowadza nas poza skalę. Dźwięki, które wtedy otrzymujemy, odpowiadają czarnym klawiszom fortepianu. W obrębie jednej oktawy mamy więc jedenaście dźwięków, których własności zebrane są w tabeli kończącej tekst.

Skalę durową można rozpocząć od dowolnego dźwięku. Napotykamy tu jednak niekiedy pewien problem. Opisane wyżej interwały to tak zwane interwały czyste. Jeżeli gramy na skrzypcach, które są instrumentem nietemperowanym, czyli umożliwiającym granie dźwięków o dowolnych częstościach, możemy je bez problemu zagrać, o ile mamy wystarczająco dobry słuch muzyczny. Na instrumentach temperowanych, np. na fortepianie, gramy „gotowe” dźwięki. Jest ich 11. Łatwo sprawdzić, że korzystając z tych dźwięków, nie da się zagrać czystej skali durowej, zaczynając od dowolnego dźwięku. Dla przykładu, drugi dźwięk w gamie D-dur powinien być o sekundę wielką wyższy od D, co daje stosunek math Takiej liczby w trzeciej kolumnie tabelki nie ma. Żeby na fortepianie móc grać w różnych tonacjach i żeby brzmiały one tak samo, opisane wyżej stosunki częstości, zwane strojem naturalnym, należy zastąpić strojem równomiernie temperowanym, w którym sekunda mała odpowiada stosunkowi częstości math a wszystkie interwały są jej złożeniami, czyli odpowiadają kolejnym potęgom tej liczby. Warto zauważyć, że w stroju równomiernie temperowanym składowe harmoniczne dźwięków są blisko siebie, ale już się nie pokrywają. Wydawać by się mogło, że akordy grane na fortepianie nigdy nie będą współbrzmieć. To „zepsucie” harmonii jest jednak nieznaczne: różnice między strojem czystym i temperowanym są na tyle małe, że słyszą je w zasadzie jedynie ludzie z kształconym słuchem. W czasach Bacha, kiedy budowano pierwsze „fortepianopodobne” instrumenty, w powszechnej opinii rzeczywiście strój równomiernie temperowany był uważany za szorstki i nieprzyjemny dla ucha. Dzisiaj jesteśmy otoczeni muzyką graną w tym stroju i brzmi ona dla większości z nas... naturalnie.

|        |                          |               |                    |
|dźwi ęk |         interwa ł         | strój naturalny|strój równomiernie  |
|--------|--------------------------|---------------|temperowany---------|
|   C    |         unisono          |   1           |     1              |
|  Des   |      sekunda ma ła       |25/24=1,04166x |     1,05946...     |
|        |                          |               |                    |
|   D    |     sekunda  wielka       | 9/8=1,125     |     1,2246...      |
|  Es    |       tercja ma ła         | 6/5=1,2       |      1,18921...     |
|   E    |       tercja wielka       | 5/4=1,25      |     1,25992...     |
|   F    |         kwarta           | 4/3=1,3333... |     1,33484...     |
|        |                          |               |                    |
|  Ges   |kwinta zmniejszona(tryton)|45/32=1,40625  |      1,41421...     |
|   G    |         kwinta           | 3/2=1,5       |     1,49831...     |
|  As    |       seksta ma ła       | 8/5=1,6       |     1,58740...     |
|   A    |      seksta wielka       | 5/3=1,6666... |     1,68179...     |
|        |                          |               |                    |
|   B    |      septyma ma ła       | 9/5=1,8       |     1,78180...     |
|   H    |     septyma  wielka       | 15/8=1,875     |     1,88775...     |
|   C    |         oktawa           |   2           |     2              |
Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24