Wszystko to pięknie, ale nie sposób nie zadać pytania: czy taka gardnerowska matematyka to ta sama matematyka, którą uprawiają zawodowcy?

Innymi słowy, skąd wziąć pewność, że nie są to tylko jakieś „anegdotki” (by użyć sformułowania wybitnego autorytetu edukacji)? Jak udowodnić, że gardnerowskie myślenie to rzeczywiście myślenie matematyczne?

Przede wszystkim jest mocny dowód socjologiczny. Większość zarówno wybitnych, jak i szeregowych matematyków uważa, że to, co proponuje Gardner, wyraża ich sposób myślenia, a na dodatek jest – jako przygoda intelektualna – atrakcyjne również dla nich samych. Zostało to wyrażone w wielu publikacjach, w formie licznych nagród, w wydaniu kilku ksiąg ku czci Gardnera.

Ale o wiele lepszym dowodem jest jednak przyjrzenie się procesowi odkryć dokonywanych na pierwszej linii matematycznych zmagań. Tam, gdzie jesteśmy w stanie wyłuskać go z pancerza formalizmów, okazuje się on identyczny z przytoczonymi wyżej zadaniami.

Równanie trzeciego stopnia

Tartaglia przyjrzał się temu, co będzie, gdy z przeciwległych rogów sześcianu o krawędzi  wytniemy sześciany o krawędziach  i  stykające się jednym wierzchołkiem. I spostrzegł, że to, co zostanie, to trzy identyczne cegły o krawędziach , , . Daje to zależność

Gdy więc mamy rozwiązać równanie , możemy wyobrazić sobie taki sześcian, w którym (czyli ) i  . Otrzymaliśmy zwykłe, szkolne równanie kwadratowe:

Zatem

oraz

Ponieważ z rysunku mamy , więc

Na przykład dla mamy

Oczywiście, dalej mogą (muszą!) pojawić się kłopoty – już równanie zaskoczy nas niespodzianką – wzory się „zatną”, choć są oczywiste pierwiastki , 1, 2. Bo samo sprawne myślenie do tworzenia matematyki nie wystarczy – aby wzory Tartaglii udoskonalić tak, by działały zawsze, potrzebny jest sprawny matematyczny warsztat, ale początek został zrobiony przez cięcie sześcianu.

Wielokąt foremny

Euklides po narysowaniu pięciokąta foremnego i trójkąta równobocznego (czyli też foremnego), które są wpisane w ten sam okrąg i mają wierzchołek wspólny, zauważył, że jeden z łuków wyznaczonych przez ich wierzchołki to 1/15 okręgu. Zatem gdy umiemy skonstruować pięciokąt foremny i trójkąt równoboczny (a to umiał i niektórzy spośród nas też umieją), umiemy też skonstruować piętnastokąt foremny. Ten wniosek z obserwacji obrazka był kluczowy dla sprawy konstruowalności wielokątów foremnych. Idąc bowiem dalej tym tropem, Euklides stwierdził, że jeśli umiemy skonstruować -kąt foremny i  -kąt foremny, a przy tym  i  nie mają wspólnych dzielników, to rysując je wpisane w ten sam okrąg i tak, by miały wspólny wierzchołek, otrzymamy na okręgu łuk stanowiący jego -tą część, a więc będziemy umieli skonstruować -kąt foremny. Stąd już niedaleko do niepoprawialnego do dziś twierdzenia:

Gauss i Wanzel udowodnili, dla jakich liczb pierwszych jest spełnione powyższe jeśli, efektywnie znaleziono dotychczas 5 takich liczb i nie wiadomo nic więcej o tym, ile ich jest.

Jak widać, dystans, jaki dzieli podziwiany przez Euklidesa obrazek od do dziś nierozstrzygniętych pytań, jest niewielki.

Liczby pierwsze

Euklides i liczby pierwsze nasuwają kolejną, gardnerowską w stylu, obserwację. Otóż właśnie Euklides zauważył, że przypuszczenie, iż 2, 3 i 5 to wszystkie liczby pierwsze, prowadziłoby do sprzeczności nawet wtedy, gdybyśmy nic o innych liczbach nie wiedzieli. Bowiem wtedy liczba

nie mogłaby istnieć: nie byłaby pierwsza (bo założyliśmy, że pierwsze są tylko wymienione trzy). Nie byłaby też złożona, bo przez żadną liczbę pierwszą (czyli 2, 3, 5) nie dzieli się.

A morał z tego taki, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, bo gdyby ich lista była skończona i miała długość  (które, oczywiście, mogłoby być bardzo duże), to w analogiczny sposób wykluczałaby istnienie liczby