Uznajmy więc pogląd, że Gardner uczy myślenia matematycznego, za dowiedziony, ale zadajmy pytanie: czy można tak uczyć w szkole?

Faktycznie są to trzy pytania:

czy

uczniowie uzyskaliby na tej drodze znajomość podstawowych faktów matematycznych?

czy

takie wykształcenie matematyczne byłoby społecznie bardziej przydatne od realizowanego obecnie?

czy

potrafilibyśmy to zrobić?

Zacznijmy od pierwszego. Oto przykład.

Podział kwadratu

Poniższe zadanie wywodzi się z tzw. folkloru i ma tę cechę, że wielu matematyków uważa, iż to oni je pierwsi rozwiązali (w tej liczbie zarówno Gardner, jak i ja). Jest to, oczywiście, raczej niemożliwe, ale wskazuje na wysoką atrakcyjność problemu.

Podziel kwadrat na trójkąty ostrokątne.

Rozwiązanie (ciekawe, że identyczne u wszystkich „autorów”) jest obok.

Uzyskuje się w ten sposób podział na osiem trójkątów. Żmudnie można dowieść, że na mniej się nie da.

Ale na czym polega „szkolność” tego przykładu? Na tym, że jest to okazja do sprowokowania uczniów do własnego odkrycia kilku standardowych, podręcznikowych twierdzeń.

Po dłużej lub krócej trwającym zmaganiu się klasy z zadaniem (i ewentualnym podaniu jego rozwiązania) pytamy: ale dlaczego tak? Po co te okręgi? I proponujemy, aby pogłębić naszą wiedzę na temat trójkątów ostrokątnych.

Stawiamy problem:

Wynikiem jest widoczna obok figura. I znów pytamy: dlaczego akurat taka?

Jeśli uczniowie wiedzą, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, to dalej posługujemy się rysunkiem obok. Na nim mamy (wykorzystując informację, że suma kątów w trójkącie jest )

więc kąt jest ostry, oraz

więc kąt jest rozwarty.

Boczne ograniczenia z pewnością uczniowie uzasadnią sami.

---

Pytanie drugie. Tu odpowiedź można zasugerować dwoma przykładami.

Nikt nie sądzi, że budowniczowie katedr gotyckich uprawiali lub przynajmniej znali geometrię na poziomie choćby Euklidesa, o Archimedesie nie wspominając. A to, co stworzyli, jest najpiękniejszym zastosowaniem geometrii wszech czasów. Oni geometrii nie znali – oni myśleli geometrycznie.

Każdy pas transmisyjny używany na dzisiejszej polskiej wsi jest wstęgą Möbiusa, co łatwo sprawdzić. Rzecz jasna, nikt tego nie wie – bo i po co? Wystarczy, że wszyscy wiedzą, że takie pasy ścierają się dwa razy wolniej od walcowych.

Bo – powtórzę istotę gardnerowskiego podejścia do matematyki – trzeba ją znać, gdy chce się ją tworzyć; natomiast gdy się chce w pełni korzystać ze stworzonych w oparciu o nią urządzeń, struktur, koncepcji, nie trzeba jej znać, ale trzeba myśleć matematycznie.

I w tym miejscu uważam, że mogę napisać, iż tytułowa teza została udowodniona. Jeden z moich przyjaciół głosił, że dobrym kupcem bawełny nie jest ten, kto nią dobrze handluje, lecz ten, kto dba o rozwój handlu bawełną. Sądzę, że ta myśl da się zastosować do Gardnera.

Pozostaje pytanie trzecie. Dzisiaj odpowiedzią na nie jest z całą pewnością  nie. Jednak zarówno pomysł, by z wszystkich uczynić mniej lub bardziej sprawnych matematyków, jak pomysł, by traktować matematykę tak, jak za czasów mojej młodości traktowano w szkole łacinę (nieważne, że nieprzydatna, ale jak dyscyplinuje umysłowo!), nie nadają się do obrony. I nastąpi taki moment, gdy społeczeństwo samo upomni się, by je uczyć matematycznego myślenia, bo to jest opłacalne – tak stało się przecież, gdy ogromne pieniądze zostały przez ludzi włożone w naukę języka angielskiego i windowsów. I to będzie wielki sukces Gardnera, pierwszego, który odkrył tę sprawę.

Pewnie to nie będzie zaraz. Ale będzie, czego jestem tak pewien, jak tego, że swego czasu Pitagoras zapoczątkował istnienie dewiantów, zwanych matematykami (choć też przy tym nie byłem).