Przeskocz do treści

Delta mi!

Matematyka
Fizyka
Astronomia
Informatyka
Różności
Delta

Temat » Matematyka

Tweet

Zadania z myszką – matematyka

Zadania z matematyki - I 2020

Łukasz Rajkowski

Delta, styczeń 2020

o artykule ...

Publikacja w Delcie: styczeń 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Jak co miesiąc, trzy ciekawe zadania z matematyki...

Narzędzia
Obiekty: Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Analiza

Zadania z matematyki - I 2020»Zadanie 1624

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - I 2020
Publikacja w Delcie: styczeń 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Znaleźć największą wartość sumy $|P x −x , i@ jDn i j$ gdzie $x ∈[0,1] i$ dla $|i = 1,2,...,n.$

Rozwiązanie

Ustalmy $|k⩽ n$ oraz dowolne wartości zmiennych $x ∈[0,1] i$ dla $|i≠ k.$ Wówczas wyrażenie $|Pi@ jDn xi− x j$ możemy traktować jako funkcję zmiennej $xk.$ Jest to funkcja ściśle wypukła, jako suma ściśle wypukłych funkcji $xk− xi$ dla $i≠ k$ oraz stałych $xi− x j$ dla $|i, j ≠ k.$ W tej sytuacji największa wartość tej funkcji jest przyjmowana na krańcach dziedziny, tj. dla $|xk = 0$ lub $xk = 1.$ Z dowolności wyboru $|k$ wnioskujemy, że największa wartość badanego wyrażenia jest przyjmowana dla pewnej konfiguracji $xi ∈{0,1},i⩽ n.$ Jeśli $k$ spośród zmiennych $x i$ jest równe 1, to rozważana suma ma wartość

n- 2 n- 2 k(n −k) = (2 ) − ( 2− k)

i przyjmuje największą wartość dla $|k =⌊n ⌋ 2$ równą

n- n- n2- ⌊2⌋ ⋅⌈2⌉ = ⌊ 4⌋ .

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Kombinatoryka

Zadania z matematyki - I 2020»Zadanie 1625

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - I 2020
Publikacja w Delcie: styczeń 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Znaleźć największą liczbę parami różnych punktów kratowych $|(x,y ), i i$ $|xi,yi ∈{1,2,...,n},$ spośród których nie można wybrać czterech wierzchołków równoległoboku.

Rozwiązanie

Niech $|K$ będzie zbiorem punktów o współrzędnych należących do zbioru ${1,2,...,n}.$ Niech $|S$ będzie zbiorem punktów należących do $|K,$ których co najmniej jedna współrzędna jest równa 1. Wówczas w $S$ nie ma 4 punktów będących wierzchołkami równoległoboku, zatem szukana liczba nie przekracza liczności $|S,$ czyli $|2n −1.$

Rozważmy dowolny podzbiór $|R$ zbioru $K, R ⩾2n.$ Przypuśćmy, że w $R$ nie ma 4 wierzchołków równoległoboku. Dla $|i⩽ n$ niech $Ri$ będzie zbiorem punktów należących do $|R,$ których pierwsza współrzędna wynosi $|i.$ Niech $i D$ będzie zbiorem odległości "najniższego" punktu zbioru $|Ri$ od pozostałych punktów tego zbioru. Wówczas $i = Ri −1. | D$ Ponadto, ze względu na przypuszczenie o braku równoległoboku, zbiory $i |D$ muszą być parami rozłączne, a zatem

nn n n i i =Q( Ri −1)=Q Ri −n= R −n⩾n. D = Q D i1i1 i 1 i 1

Jest to sprzeczność, gdyż każdy ze zbiorów $i |D$ jest podzbiorem $|{1,2,...,n −1},$ więc lewa strona powyższej nierówności nie może przekraczać $n − 1.$ Wobec przedstawionych rozważań odpowiedzią na pytanie z zadania jest $2n − 1.$

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty, Rachunki
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Zadania z matematyki - I 2020»Zadanie 1626

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Zadania z matematyki - I 2020
Publikacja w Delcie: styczeń 2020
Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2020

Znaleźć największe pole trójkąta o bokach $PA,$ gdzie $P$ jest punktem wewnątrz trójkąta równobocznego $|ABC$ o boku 1.

Rozwiązanie

Przez punkt $P$ poprowadźmy proste równoległe do boków trójkąta $|ABC,$ przecinające te boki w punktach $Ai, |$ jak na rysunku. Wówczas $|PA$ podobnie z długościami $|PB$ i $|PC,$ stąd należy zmaksymalizować pole trójkąta $A2B2C2.$ Oznaczając przez $[ |ℱ]$ pole figury $|ℱ,$ dostajemy

$pict$

Trójkąty $PA1A2,$ i $|PC1C2$ są podobne do $ABC |$ w skalach odpowiednio $A1A2,$ i $C1C2.$ W związku z tym

$pict$

Łącząc (*) i (**), dostajemy $|[A2B2C2]$ Równość otrzymamy, biorąc za punkt $|P$ środek ciężkości trójkąta $ABC,$ co kończy rozwiązanie.

Obiekty: Bryły; Wielościany; Całki; Chaos; Fraktale; Ciągi liczbowe; Figury; Okręgi; Wielokąty; Funkcje; Grafy; Grupy; Gry; Konstrukcje; Krzywe; Liczby; Liczby naturalne; Liczby pierwsze; Liczby rzeczywiste; Liczby wymierne; Liczby zespolone; Losowość; Miary; Modele; Nierówności; Pochodne; Podzielność; Powierzchnie; Przekształcenia; Przestrzenie; Rachunki; Równania; Rozmaitości; Strategie; Szeregi liczbowe; Sztuczna inteligencja; Szyfrowanie; Węzły; Wielokąty; Wielomiany; Zbiory

Narzędzia: Indukcja; Jednokładności

tematy

Matematyka
Algebra
Analiza
Teoria miary
Układy dynamiczne
Geometria
Geometria różniczkowa
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
Rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka
Teoria grafów
Teoria liczb
Teoria Mnogości
Teoria węzłów
Topologia
Zastosowania matematyki

artykuły

Algorytmy
- Podróże w $d N$
Matematyka
Algebra
Analiza
Układy dynamiczne
- Nagrody Abela w roku 2020
Geometria
- Kochajcie trygonometrię, dziewczęta
Geometria różniczkowa
- O trójkątach (nie tylko) na sferze
Geometrie nieeuklidesowe
Planimetria
Stereometria
- Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?
- Wierzchołki, krawędzie, ściany i dalej
Gry, zagadki, paradoksy
Kombinatoryka
Kryptologia
Logika
- Czułość funkcji logicznych (II)
- Czułość funkcji logicznych (I)
Rachunek prawdopodobieństwa
- Nigdy Cię nie zobaczę?
- Paradoks jednomyślności
Statystyka
- O dowodzeniu racji
Teoria liczb
Teoria Mnogości
- Nieskończoność nieskończoności
Topologia
- Elementarnie o twierdzeniu Brouwera
- Zabawa zapałkami
Zastosowania matematyki

zadania

Matematyka
Liczby rzeczywiste, Rachunki
ZM-1648
ZM-1649
ZM-1650
Liczby rzeczywiste, Równania
ZM-K44-808
Liczby rzeczywiste
ZM-K44-803
Algebra
Liczby naturalne, Wielomiany
ZM-1647
Liczby rzeczywiste, Nierówności, Rachunki
ZM-20.07-KPO-1
ZM-20.07-KPO-2
ZM-20.07-KPO-3
ZM-20.07-KPO-4
ZM-20.07-KPO-5
ZM-20.07-KPO-6
ZM-20.07-KPO-7
Liczby rzeczywiste, Wielomiany
ZM-1638
Wielomiany
ZM-1653
Analiza
Ciągi liczbowe, Funkcje, Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-806
Funkcje, Liczby rzeczywiste, Nierówności
ZM-1639
Funkcje, Liczby rzeczywiste
ZM-K44-807
Funkcje
ZM-K44-811
ZM-20.09-GR-2
Planimetria
Konstrukcje
ZM-20.11-TK-1
Okręgi, Wielokąty
ZM-20.09-KPO-4
ZM-20.09-KPO-6
ZM-K44-805
ZM-20.06-KPO-4
Okręgi
ZM-K44-809
ZM-1652
ZM-20.08-KPO-1
Wielokąty, Konstrukcje
ZM-20.09-KPO-5
Wielokąty, Przekształcenia
ZM-20.10-KPO-3
ZM-20.10-KPO-6
Wielokąty
ZM-20.10-KPO-1
ZM-20.10-KPO-2
ZM-20.10-KPO-4
ZM-20.10-KPO-5
ZM-20.09-KPO-1
ZM-20.09-KPO-2
ZM-20.09-KPO-3
ZM-20.08-KPO-2
ZM-20.08-KPO-6
ZM-20.08-KPO-7
ZM-20.08-ME-1
ZM-20.08-ME-3
ZM-20.06-KPO-1
ZM-20.06-KPO-2
ZM-20.06-KPO-3
ZM-20.06-KPO-5
ZM-20.06-KPO-6
ZM-20.06-KPO-7
ZM-20.06-KPO-8
Inne
ZM-20.09-GR-3
ZM-20.09-GR-4
ZM-1646
ZM-1644
Stereometria
Wielościany, Wielokąty
ZM-20.08-ME-2
Kombinatoryka
Liczby pierwsze, Zbiory
ZM-K44-804
Zbiory
ZM-20.08-KPO-4
ZM-1640
ZM-20.05-DD-1
Inne
ZM-1657
ZM-1658
ZM-1659
ZM-20.11-IN-1
ZM-20.08-KPO-3
ZM-20.08-KPO-5
ZM-1642
ZM-1643
ZM-1637
Rachunek prawdopodobieństwa
Losowość
ZM-1654
ZM-1651
Teoria liczb
Ciągi liczbowe, Liczby
ZM-1655
ZM-1656
Liczby naturalne, Podzielność, Równania
ZM-1636
Liczby naturalne, Podzielność
ZM-K44-812
Liczby naturalne, Równania
ZM-1645
Liczby naturalne
ZM-K44-810
ZM-20.08-PK-1
ZM-20.06-FB-2
ZM-20.06-FB-3
ZM-20.06-FB-4
Liczby pierwsze, Podzielność
ZM-20.12-KPO-1
ZM-20.12-KPO-2
ZM-20.12-KPO-3
ZM-20.12-KPO-4
ZM-20.12-KPO-5
ZM-20.12-KPO-6
ZM-20.12-KPO-7
ZM-20.12-KPO-8
ZM-20.12-KPO-9
ZM-20.11-KPO-1
ZM-20.11-KPO-2
ZM-20.11-KPO-3
ZM-20.11-KPO-4
ZM-20.11-KPO-5
ZM-20.11-KPO-6
ZM-1641
Liczby pierwsze
ZM-20.05-DD-2
Liczby wymierne
ZM-20.06-FB-1
Inne
ZM-20.08-KPO-8
Teoria Mnogości
Funkcje, Zbiory
ZM-20.09-GR-1

projekt graficzny: emilka bojańczyk

Delta:
archiwum
redakcja
autorzy
rubryki
prenumerata
zgłoś błąd/uwagę/opinię
DeltaMi RSS