Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Elementarne wyprowadzenie równoważności masy i energii

Albert Einstein

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2005
  • Publikacja elektroniczna: 20-12-2010
  • Albert Einstein (1879–1955) był nie tylko uczonym, ale też popularyzatorem fizyki, a w pewnym sensie także publicystą naukowym. Zamieszczony obok jego artykuł popularny „Elementary Derivation of the Equivalence of Mass and Energy” nieznany jest szerokim kręgom, zapewne dlatego, że Einstein opublikował go w mało znanym fizykom piśmie izraelskim [  Technical Journal (Haifa), 1946, V, 16–17]. Niniejszy tekst jest tłumaczeniem z rosyjskiego przekładu artykułu [Albert Einstein, Sobranie nauchnyh trudov, tom 2, 650–652, Izd. „Nauka”, Moskva 1966]. Był także wydrukowany w Delcie 12/1979.

Przedstawione tu wyprowadzenie prawa równoważności, dotychczas nigdzie nie publikowane, ma dwie zalety. Chociaż wykorzystuje się w nim szczególną zasadę względności, nie wymaga to jednak stosowania formalnego aparatu teorii; dowód opiera się na trzech znanych wcześniej prawach:

(1)
zasadzie zachowania pędu,
(2)
wyrażeniu na pęd promieniowania, czyli – na pęd pakietu falowego poruszającego się w danym kierunku,
(3)
znanym wyrażeniu dla aberracji światła (wpływu ruchu Ziemi na widziane z Ziemi położenie nieruchomych gwiazd, czyli – na prawie Bradleya).
obrazek

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało B spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia math . Dwa pakiety falowe mathmath , o energii math każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi math, padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o  math Ciało B pozostaje przy tym w spoczynku względem układu math a wynika to z symetrii zagadnienia.

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało B spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia math . Dwa pakiety falowe mathmath , o energii math każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi math, padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o  math Ciało B pozostaje przy tym w spoczynku względem układu math a wynika to z symetrii zagadnienia.

Rozważmy teraz ten sam proces z układu odniesienia math poruszającego się względem układu math ze stałą prędkością o wartości math w ujemnym kierunku osi  math. W układzie math rozważany proces opisuje się następująco: ciało B porusza się w dodatnim kierunku osi math z prędkością o wartości math. Kierunki dwóch pakietów falowych w układzie math tworzą z osią math kąt math Zgodnie z prawem aberracji, w pierwszym przybliżeniu zachodzi związek: math gdzie c – prędkość światła. Z rozważań dotyczących przebiegu procesu w układzie math wiemy, że prędkość ciała B po pochłonięciu pakietów falowych mathmath nie ulegnie zmianie.

Zastosujemy teraz do naszego układu prawo zachowania pędu dla składowych w kierunku math w układzie math

I. Niech math oznacza masę ciała B do chwili pochłonięcia pakietów falowych; w takim razie math jest pędem ciała B (zgodnie z mechaniką klasyczną). Każdy pakiet falowy ma energię math a więc – zgodnie ze znanym wnioskiem z teorii Maxwella – jego pęd ma wartość math. Ściśle rzecz biorąc, tyle jest równy pęd pakietu falowego math względem układu odniesienia math . Kiedy jednak prędkość math jest mała w porównaniu z c, wówczas pęd w układzie math ma taką samą wartość – z dokładnością do wielkości małej drugiego rzędu ( math w porównaniu z 1). Wartość składowej tego pędu wzdłuż osi math jest równa  math, albo, z wystarczającą dokładnością (jeśli pominąć wielkości małe wyższych rzędów), math lub math. Zatem składowe pędów pakietów falowych mathmath wzdłuż osi math są w sumie równe math. Tak więc pęd całkowity układu przed aktem pochłonięcia jest równy

display-math

Wobec tego, że math, gdzie c – wartość prędkości światła, więc math i kąt aberracji math (prawo Bradleya). Ten przybliżony wzór bardzo dobrze zgadza się z wynikami pomiarów, co oznacza, że w tym przypadku ( math) wystarczającą dokładność obliczeń zapewnia klasyczna reguła składania prędkości Galileusza.

II. Niech math oznacza masę ciała B po akcie pochłonięcia. Z góry bierzemy tu pod uwagę możliwość zwiększenia masy po pochłonięciu energii math (jest to konieczne na to, aby ostateczny wynik naszych obliczeń był niesprzeczny). Wobec tego pęd układu po akcie pochłonięcia będzie równy

display-math

Skorzystamy wreszcie z zasady zachowania pędu dla składowych wzdłuż osi math Daje to związek

display-math

lub

display-math

Związek ten wyraża prawo równoważności energii i masy. Zwiększenie energii o  math wiąże się ze wzrostem masy o  math A wobec tego, że energię określa się zazwyczaj z dokładnością do stałej addytywnej, więc tę ostatnią możemy wybrać tak, aby zachodził związek:

display-math

Ponieważ dla math transformacja Lorentza przechodzi w klasyczną transformację Galileusza, więc i wyrażenie na pęd ciała ma dla małych prędkości postać klasyczną. Związek math spełniony dla świetlnej paczki falowej, może być udowodniony przy pomocy transformacji Lorentza i zasady względności bez uciekania się do równań Maxwella. Dowód jest elementarny, choć dosyć długi.

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24