Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Co to jest?

Elementarne wyprowadzenie równoważności masy i energii

Albert Einstein

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: czerwiec 2005
  • Publikacja elektroniczna: 20 grudnia 2010
  • Albert Einstein (1879-1955) był nie tylko uczonym, ale też popularyzatorem fizyki, a w pewnym sensie także publicystą naukowym. Zamieszczony obok jego artykuł popularny "Elementary Derivation of the Equivalence of Mass and Energy" nieznany jest szerokim kręgom, zapewne dlatego, że Einstein opublikował go w mało znanym fizykom piśmie izraelskim [Technical Journal (Haifa), 1946, V, 16-17]. Niniejszy tekst jest tłumaczeniem z rosyjskiego przekładu artykułu [Albert Einstein, Sobranie nauchnyh trudov, tom 2, 650-652, Izd. "Nauka", Moskva 1966]. Był także wydrukowany w Delcie 12/1979.

Przedstawione tu wyprowadzenie prawa równoważności, dotychczas nigdzie nie publikowane, ma dwie zalety. Chociaż wykorzystuje się w nim szczególną zasadę względności, nie wymaga to jednak stosowania formalnego aparatu teorii.

Dowód opiera się na trzech znanych wcześniej prawach:

(1)
zasadzie zachowania pędu,
(2)
wyrażeniu na pęd promieniowania, czyli - na pęd pakietu falowego poruszającego się w danym kierunku,
(3)
znanym wyrażeniu dla aberracji światła (wpływu ruchu Ziemi na widziane z Ziemi położenie nieruchomych gwiazd, czyli - na prawie Bradleya).
obrazek

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało B spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia |K 0 . Dwa pakiety falowe S i  ′ S , o energii |E/2 każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi |x0 , padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o E. Ciało B pozostaje przy tym w spoczynku względem układu K , 0 a wynika to z symetrii zagadnienia.

Rozpatrzmy teraz następujący układ. Niech ciało B spoczywa swobodnie w przestrzeni względem układu odniesienia |K0 . Dwa pakiety falowe S | i S′ , o energii |E/2 każdy, poruszają się odpowiednio w dodatnim i ujemnym kierunku osi |x0 , padają na ciało i są przez nie pochłonięte. W wyniku tego procesu energia ciała zwiększa się o E. Ciało B pozostaje przy tym w spoczynku względem układu K0, a wynika to z symetrii zagadnienia.

Rozważmy teraz ten sam proces z układu odniesienia K | poruszającego się względem układu K 0 ze stałą prędkością o wartości v w ujemnym kierunku osi z0 . W układzie K rozważany proces opisuje się następująco: ciało B porusza się w dodatnim kierunku osi z | z prędkością o wartości |v. Kierunki dwóch pakietów falowych w układzie K tworzą z osią x | kąt α . Zgodnie z prawem aberracji, w pierwszym przybliżeniu zachodzi związek:  v |α= c, gdzie c - prędkość światła. Z rozważań dotyczących przebiegu procesu w układzie K0 wiemy, że prędkość ciała B po pochłonięciu pakietów falowych S i S′ nie ulegnie zmianie.

Zastosujemy teraz do naszego układu prawo zachowania pędu dla składowych w kierunku z w układzie K.

I. Niech |M oznacza masę ciała B do chwili pochłonięcia pakietów falowych; w takim razie v M jest pędem ciała B (zgodnie z mechaniką klasyczną). Każdy pakiet falowy ma energię E/2, a więc - zgodnie ze znanym wnioskiem z teorii Maxwella - jego pęd ma wartość E/2c . Ściśle rzecz biorąc, tyle jest równy pęd pakietu falowego S względem układu odniesienia |K0 . Kiedy jednak prędkość v | jest mała w porównaniu z c, wówczas pęd w układzie K | ma taką samą wartość - z dokładnością do wielkości małej drugiego rzędu ( v2c2 -- w porównaniu z 1). Wartość składowej tego pędu wzdłuż osi z | jest równa |Esinα 2c, albo, z wystarczającą dokładnością (jeśli pominąć wielkości małe wyższych rzędów),  E- |2cα lub E v- |2c2 . Zatem składowe pędów pakietów falowych S i |S′ wzdłuż osi |z są w sumie równe E v2- c . Tak więc pęd całkowity układu przed aktem pochłonięcia jest równy

E v+2v. M c

Wobec tego, że v ≪ c , gdzie c - wartość prędkości światła, więc |cZ≅ cS− v i kąt aberracji |α = vc (prawo Bradleya). Ten przybliżony wzór bardzo dobrze zgadza się z wynikami pomiarów, co oznacza, że w tym przypadku ( v ≪ c) wystarczającą dokładność obliczeń zapewnia klasyczna reguła składania prędkości Galileusza.

II. Niech ′ |M oznacza masę ciała B po akcie pochłonięcia. Z góry bierzemy tu pod uwagę możliwość zwiększenia masy po pochłonięciu energii |E (jest to konieczne na to, aby ostateczny wynik naszych obliczeń był niesprzeczny). Wobec tego pęd układu po akcie pochłonięcia będzie równy

′ v. M

Skorzystamy wreszcie z zasady zachowania pędu dla składowych wzdłuż osi |z. Daje to związek

E v+2v=M′v M c

lub

′E −M=c2. M

Związek ten wyraża prawo równoważności energii i masy. Zwiększenie energii o |E wiąże się ze wzrostem masy o |E2. c A wobec tego, że energię określa się zazwyczaj z dokładnością do stałej addytywnej, więc tę ostatnią możemy wybrać tak, aby zachodził związek:

c2. E = M

Ponieważ dla |v 0 c transformacja Lorentza przechodzi w klasyczną transformację Galileusza, więc i wyrażenie na pęd ciała ma dla małych prędkości postać klasyczną. Związek |E = pc, spełniony dla świetlnej paczki falowej, może być udowodniony przy pomocy transformacji Lorentza i zasady względności bez uciekania się do równań Maxwella. Dowód jest elementarny, choć dosyć długi.