Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Złoty podział odcinka a ładowanie akumulatora samochodowego

Maciej Siwczyński

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2016
  • Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2016
  • Autor: Maciej Siwczyński
    Afiliacja: Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej, Politechnika Krakowska
obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Akumulator samochodowy jest jednym z wielu źródeł energii używanych w praktyce. Źródłami energii elektrycznej są również ogniwa, prądnice - maszyny prądu stałego, alternatory, turbogeneratory itd. Każde źródło energii elektrycznej możemy sobie wyobrazić jako "skrzynkę" dostępną z zewnątrz poprzez parę końcówek, tworzących tzw. "port energetyczny" (Rys. 1), na którym obserwuje się parę wielkości fizycznych nazywanych w technice sygnałami.

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Dla źródła energii elektrycznej parę sygnałów stanowią napięcie elektryczne i natężenie prądu elektrycznego, które oznaczymy u oraz i. Iloczyn tych sygnałów stanowi moc chwilową:

p(t) = u(t)i(t).

Na ogół zarówno u,i, jak i p, zależą od czasu, ale istnieje spora grupa źródeł energii, w których funkcje te są stałe w czasie (lub zmieniają się bardzo powoli) i dlatego nazywa się je źródłami napięcia (bądź prądu) stałego. Modele matematyczne takich źródeł są szczególnie proste, gdyż pomija się w nich zależność od czasu. Przykładami tego typu źródeł są ogniwa, prądnice prądu stałego, turbiny, ale również akumulatory samochodowe. Tymi ostatnimi zajmiemy się w tym artykule. Równanie opisujące akumulator, które wiąże ze sobą sygnały |u - napięcie oraz |i - natężenie prądu elektrycznego, ma postać

u+ v = e,

gdzie e nazywa się "siłą elektromotoryczną" źródła, natomiast v = ri, gdzie |r to tzw. opór wewnętrzny źródła. Równanie to na płaszczyźnie we współrzędnych (v,u) przedstawia prostą przechodzącą przez ćwiartki I, II i IV wyznaczoną przez punkty o współrzędnych (0,e) i (e,0) (Rys. 1). Pierwszy punkt nazywa się "punktem otwarcia" źródła - przy prądzie |i = 0, drugi punkt to tzw. "punkt zwarcia" - przy u = 0. Napięcie elektryczne akumulatora przy i = 0 nazywa się napięciem otwarcia |uo = e, a prąd przy |u = 0 - prądem zwarcia iz = er.

Oprócz równania linii prostej we współrzędnych v,u występuje jeszcze jedno równanie energetyczne:

uv = pr,

gdzie p jest mocą wyprowadzaną z akumulatora. Jest to równanie hiperboli, która dla |p > 0, gdy akumulator się rozładowuje, przechodzi tylko przez ćwiartkę I, a dla p < 0, gdy akumulator się ładuje, przez ćwiartki II i IV. Hiperbola ma wówczas dwie gałęzie, jak to widać na wykresie.

obrazek

Wraz ze zmianą mocy p od |−∞ do + ∞ otrzymuje się całą rodzinę hiperbol. O tym, jaką wartość przyjmie moc p pobierana z akumulatora, decyduje czynnik zewnętrzny, czyli albo odbiornik energii, albo urządzenie ładujące źródło, przy czym własności akumulatora nakładają na możliwe wartości mocy pewne ograniczenia, których analizą się zajmiemy.

Rozpatrując proces pobierania energii z akumulatora, stawia się pytanie, kiedy moc p osiąga wartość maksimum. Poszukiwanie punktu maksimum p na wykresie polega na tym, aby spośród wszystkich prostokątów o bokach |u,v opierających się o prostą |u +v = e, czyli o tym samym obwodzie, wybrać ten, który będzie miał największe pole powierzchni. Oczywiste jest, że prostokąt ten musi być kwadratem. Jest to równoważne z tym, że funkcja

p(u) = 1u(e − u) r

osiąga maksimum w punkcie | e u = 2. Punkt o współrzędnych

 e e (u,v) = (-, -) 2 2

nazywa się punktem dopasowania odbiornika energii do źródła (akumulatora). Współrzędne tego punktu wyznaczają wartość mocy maksymalnej otrzymywanej z akumulatora

pmax = udid = 1uoiz, 4

gdzie u = uz= e,i = iz-= e. d 2 2 d 2 2r Zagadnienie dopasowania odbiorników do źródeł energii jest obszernym problemem technicznym i teoretycznym wymagającym zaangażowania bardziej rozwiniętego aparatu matematycznego (rachunek wariacyjny, analiza funkcjonalna). Ten problem znacznie się upraszcza i nazywa się dopasowaniem odbiornika do źródła napięcia stałego ze względu na maksimum pobieranej z niego mocy. W tym celu na rysunku 2 wyróżniamy dwa kwadraty: duży kwadrat, tzw. "otwarciowo-zwarciowy", o polu powierzchni uoiz równym "mocy otwarciowo-zwarciowej" i mały kwadrat o polu powierzchni równym ćwiartce pola dużego kwadratu, a wynoszącym  1 udid = 4uoiz. Ten mały można nazwać kwadratem mocy maksymalnej, ponieważ przez jeden z jego wierzchołków przechodzi hiperbola mocy maksymalnej styczna do prostej |u+ v = e. Położone wyżej hiperbole, odpowiadające mocom p > p max nie mają punktów wspólnych z prostą napięciowo-prądową źródła, co oznacza, że akumulator nie jest w stanie dostarczyć takiej mocy. Liczba 4 staje się tym samym w teorii źródeł energii liczbą "magiczną".

obrazek

Punkty przecięć prostej |u+ v = e z hiperbolami rodziny |uv = pr punktami współpracy akumulatora z odbiornikiem bądź źródłem ładowania. Prosta przecina hiperbole w dwóch punktach w ćwiartkach II i IV (ładowanie akumulatora) albo w dwóch punktach w ćwiartce I (rozładowanie), albo w jednym punkcie (dopasowanie), albo ich nie przecina, gdy p > pmax. Ilustruje to rozwiązanie układu równań akumulatora |u+ v = e,uv = pr, który sprowadza się do równania kwadratowego dla napięcia lub prądu:

 2 2 ( u-) − ( u-) + x-= 0 albo (-i) − ( i) + x-= 0, uo uo 4 iz iz 4

gdzie uo, iz - wcześniej zdefiniowane napięcie otwarcia i prąd zwarcia akumulatora, a

 -p--- x = pmax

jest tzw. ułamkiem obciążenia źródła. Stosunek ten nie może przekroczyć wartości 1, gdyż w przeciwnym razie otrzymywalibyśmy z akumulatora więcej mocy, niż jest on w stanie dostarczyć. Matematycznie oznaczałoby to, że wyróżnik równań kwadratowych ∆ = 1− x byłby ujemny i równania te nie miałyby rzeczywistych rozwiązań. Jednak dla ujemnych x nie ma żadnego ograniczenia od dołu, może z wyjątkiem ograniczeń wynikających z wytrzymałości akumulatora na przeciążenie prądem lub napięciem. Ujemna wartość |x odpowiada procesowi ładowania akumulatora z zewnętrznego źródła energii elektrycznej.

Przyjmijmy, że |x =− 4 (magiczne minus 4) co oznacza, że akumulator ładowany jest z mocą równą polu powierzchni dużego kwadratu otwarciowo-zwarciowego. Wówczas równania kwadratowe przyjmą wspólną postać

ϕ2− ϕ − 1 = 0,

a to jest równanie złotego podziału! Jednym z rozwiązań tego równania jest liczba opisująca złoty podział ( |ϕ - symbol Fidiasza):

 √ -- --5+-1 ϕ = 2 ≈ 1,618034.

Drugim rozwiązaniem równania kwadratowego jest |−ϕ−1, otrzymujemy więc dwa rozwiązania, którym odpowiadają następujące wartości prądu i napięcia:

u i --= ϕ --= 1− ϕ = −ϕ−1 uo iz u-- −1 i- −1 uo = − ϕ iz = 1+ ϕ = ϕ

Punkty o tych współrzędnych leżą w ćwiartkach II i IV, co widać na rysunku 2 Korzystniejszą technicznie jest pierwsza para wartości ze względu na mniejszą wartość bezwzględną prądu ładowania (punkt w ćwiartce II). Zatem napięcie ładowania akumulatora u powinno być takie, aby  u- |uo = ϕ, co przy uo = e = 12 V daje wartość około |19,416408 V ( "złote napięcie ładowania"). Warto zauważyć, że prąd ładowania odpowiadający "złotemu napięciu" jest dosyć duży i wynosi − ϕ−1i ≈ −0,618034⋅i z z ( i z - prąd zwarcia). Nie jest to więc prąd mały, zważywszy, że prąd zwarcia płynący przez akumulator długotrwale może go uszkodzić. Badanie właściwości ładowania akumulatorów złotym napięciem bądź złotym prądem wymagałoby analizy wielu zjawisk fizykochemicznych, dynamicznych, cieplnych, itd. zachodzących w akumulatorze podczas ładowania. Autor w tym artykule nie podejmuje dyskusji na ten temat. Tutaj ograniczymy się do wyciągnięcia następującego wniosku sformułowanego w postaci twierdzenia:

Twierdzenie. Napięcie (bądź prąd) ładowania akumulatora z mocą równą iloczynowi napięcia otwarcia i prądu zwarcia, równą czterokrotnej mocy maksymalnej - czyli równą polu powierzchni dużego kwadratu otwarciowo-zwarciowego - równe są ϕ bądź  −1 −ϕ (złotej liczbie lub jej odwrotności) jednostek napięcia (lub prądu).