Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Zera funkcji kwadratowych

Arkadiusz Męcel

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2012
  • Publikacja elektroniczna: 01-11-2012
  • Autor: Arkadiusz Męcel
    Afiliacja: doktorant, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski

Niejeden maturzysta marzy zapewne, żeby na egzaminie dojrzałości rozwiązywać następujące, z pozoru błahe, zadanie: Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji math Abiturienta nie zraziłaby prawdopodobnie nawet drobna przeszkoda, jaką jest wyraźny brak informacji o dziedzinie funkcji math Z uwagi na wszechobecność zbioru liczb rzeczywistych w obecnym programie nauczania wydaje się, że o żadnych zerach mowy być nie może. Nawet słynna „delta” nie jest tu potrzebna.

Tym, którzy z powodzeniem przejdą przez egzamin maturalny, przyjdzie, być może, zetknąć się z liczbami zespolonymi. Mają one tę własność, że wśród nich znajdują się pierwiastki nawet tak opornych funkcji, jak math Co więcej, każdy wielomian jednej zmiennej zespolonej o dowolnych współczynnikach (nie tylko całkowitych) ma pierwiastek zespolony. Dowód tego ważnego faktu, znanego powszechnie jako Zasadnicze Twierdzenie Algebry, młodzi adepci matematyki poznają w przynajmniej kilku odsłonach, nierzadko bardzo nieoczekiwanych.

Równanie math ma dwa pierwiastki zespolone: math oraz math Liczba pierwiastków pokrywa się zatem ze stopniem wielomianu i nie jest to żaden przypadek. Zamieniając math na dowolną inną funkcję kwadratową, nigdy nie dostaniemy więcej niż dwóch różnych miejsc zerowych. Co więcej, nie jest to fenomen dotyczący wyłącznie liczb zespolonych. Okazuje się, że ograniczenie nie powiększy się, o ile założymy przynajmniej tyle, że zarówno współczynniki, jak i dziedzina funkcji math wyposażone są w dowolną strukturę określaną w algebrze mianem ciała. Jak się jednak okaże „przynajmniej” nie zawsze znaczy „mało”.

Niepusty zbiór math  nazwiemy ciałem, jeśli wolno w nim odpowiednio dodawać i mnożyć pary elementów. Działania te oznaczamy zwykle przez „ math ” oraz „ math ”. Co znaczy „odpowiednio”? Muszą być łączne i związane znanymi prawami rozdzielności. Każde ciało musi mieć zero, oznaczane przez „0”, oraz jedynkę, oznaczaną przez „1”. Są one elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia, a więc dodawanie zera i mnożenie przez jedynkę nie zmieniają elementu, który poddajemy tym operacjom. Każdy element musi mieć element przeciwny, a każdy poza zerem – element odwrotny. I rzecz dla nas kluczowa: działania „ math ” i  „ math ” mają być przemienne.

Wspomnieliśmy już o liczbach rzeczywistych i zespolonych. Są to przykłady ciał nieskończonych. Tymczasem już na zbiorze dwuelementowym można wprowadzić strukturę ciała. Rozważmy zbiór math Przyjmijmy, że działania dodawania i mnożenia określone są zgodnie z następującymi tabelkami:

display-math

Nietrudno zidentyfikować powyższe reguły z działaniami na resztach z dzielenia przez 2. Czytelnik bez trudu sprawdzi, że powyższe warunki zadają na zbiorze math strukturę ciała dwuelementowego, oznaczanego zwykle przez math Skoro mamy ciało, możemy rozważać funkcje kwadratowe i wyznaczać miejsca zerowe. Spójrzmy na funkcję math zadaną wzorem math której współczynniki należą przecież do math Podstawiając elementy dziedziny, dostajemy:

display-math

Ogólnie, dla każdej liczby pierwszej math zbiór math reszt z dzielenia przez math wyposażony w działanie dodawania i mnożenia reszt, jest ciałem.

Analogiczna struktura zadana na zbiorze reszt z dzielenia przez liczbę złożoną ciałem być nie może – zachęcamy Czytelnika do poszukiwania powodu.

Co oznacza bycie pierwiastkiem wielomianu math w ciele math Jest to, oczywiście, związane z podzielnością przez math Jeśli rozważymy zbiór math  liczb całkowitych, takich, które podniesione do kwadratu i powiększone o 1 są podzielne przez math to elementy tego zbioru dają co najwyżej dwie różne reszty z dzielenia przez math Które dwie? To już inna historia...

Postawmy jeszcze jedno pytanie. Czy funkcja math może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych? Odpowiedź brzmi: tak! Przykład dziedziny mającej tę własność jest tym bardziej zaskakujący, że znajduje się bardzo blisko ciał. Mowa tu bowiem o kwaternionach, uogólnieniu liczb zespolonych, których odkrycie, datowane na rok 1843, przypisuje się Hamiltonowi. Czym one są?

Konstruując ciało liczb zespolonych, do zbioru liczb rzeczywistych dokładaliśmy tajemniczy element math którego kwadrat był równy math Kwaterniony powstają na podobnej zasadzie, ale zamiast jednego elementu obcego rozważa się aż trzy. Nazwijmy je math Każdy z nich, podobnie jak jednostka urojona, ma tę własność, że jego kwadrat to math Co więcej, iloczyn dowolnych dwóch równy jest trzeciemu (z dokładnością do znaku). Dokładniej,

display-math

O ile dowolny element w ciele liczb zespolonych wyraża się jako math gdzie math w przypadku kwaternionów dowolny element przedstawia się jako math gdzie math to dowolne liczby rzeczywiste. Kwaterniony można dodawać i mnożyć (stosując analogiczną metodę jak dla liczb zespolonych). Działania są łączne, zachowane są prawa rozdzielności. Znajdą się, rzecz jasna, zero i jedynka. Niemniej jednak kwaterniony nie są ciałem, a powód podaliśmy już na starcie. Pogwałcona została przemienność mnożenia. Istotnie, math ale math Ta drobna (i jedyna!) różnica – brak przemienności mnożenia, który wyklucza kwaterniony z klasy ciał – ma poważne konsekwencje dla zliczania pierwiastków wielomianów.

Przyjrzyjmy się sprawie dokładniej. Funkcja math ma na pewno przynajmniej trzy kwaternionowe zera. Są to elementy math Za dużo jak na ciało, ale wciąż za mało jak na „nieskończenie wiele”. Podstawiajmy więc dalej:

pict

Nie tylko otrzymaliśmy kolejne miejsce zerowe, lecz także złapaliśmy nieprzemienność kwaternionów na gorącym uczynku. Otrzymane zero to skutek reguły mnożenia elementów math W podobny sposób możemy otrzymać coraz więcej pierwiastków. Dokładny rachunek pokazuje, że wśród kwaternionów postaci math funkcja math zeruje się dokładnie na tych, w których współczynnik math równy jest math (tzw. kwaterniony czyste), a które leżą na sferze opisanej równaniem math

Kwaterniony zaprowadziły nas zatem daleko od początkowych rozważań. Ale czy aby na pewno? Czy nie ma w tym żadnego podstępu? Pierwiastki przez nas wskazane, choć jest ich dużo, są bardzo podobne. Wiele z nich różni jedynie tzw. sprzężenie. Oznacza to, że jeśli utożsamilibyśmy wszystkie pary pierwiastków math dla których istnieje kwaternion odwracalny math taki, że spełniony jest warunek math to zostałyby nam dokładnie... dwa pierwiastki! I nie jest to przypadek, ale całkiem poważne twierdzenie i właściwość mająca analogię wśród wielomianów wyższych stopni. Ale o tym to już przy innej okazji...

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24