Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Intuicjonizm i to, co po nim

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: kwiecień 2017
  • Publikacja elektroniczna: 30 marca 2017
  • Wersja do druku [application/pdf]: (61 KB)

Udowodnijmy lub obalmy twierdzenie: istnieją takie liczby niewymierne |a i b; że  b a jest liczbą wymierną.

Rozważmy liczbę  - √ --2 | 2 . Jeśli jest ona wymierna, szukanymi liczbami są |√ 2- i |√ 2. Jeśli natomiast  - - - √ 2 2 jest niewymierna, to wraz z nią szukaną liczbą jest √ -- | 2, bowiem  √ - -- 2 √ -- ( 2 2) = 22 = 2. |◻

Tego rodzaju dowód ma szczególną cechę: dowodzimy istnienia jakichś obiektów, nie umiejąc stwierdzić "co one za jedne". Patrząc głębiej, widzimy, że wykorzystaliśmy tu tzw. zasadę wyłączonego środka: liczba √ - -2 | 2 jest wymierna albo jest niewymierna.

Pojawianie się, począwszy od drugiej połowy XIX wieku, sytuacji krępujących matematyków, obiektów, których własności były nadmiernie paradoksalne, skłoniło część z nich (podpuszczaną zresztą przez Poincarégo) do narzucenia sobie (i zalecenia innym) ostrożności w dowodzeniu zwłaszcza istnienia jakichś obiektów: dowody X istnieje, bo gdyby nie istniał, to olaboga! zostały wykluczone. Nurt, którego ojcem założycielem okrzyknięto Luitzena Brouwera, nazwano intuicjonizmem. Jego rozwój przysporzył matematyce takich pojęć, jak funkcje obliczalne, algorytmy, a nawet maszyna Turinga. Dziś intuicjonizm, pod nazwą konstruktywizmu jest filozoficznym aspektem informatyki, ale to już inna historia.

Dowiedźmy jednak początkowe twierdzenie zgodnie z intuicjonistami: takimi liczbami są √ 2- i log 9, 2 bo  -- √ 2log29 = 2log23 = 3.