Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

O obrotach figur płaskich

Marek Kordos

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: listopad 2015
  • Publikacja elektroniczna: 01-11-2015
  • Wersja do druku [application/pdf]: (73 KB)

W 1641 roku ukazały się Centrobaryca Paula Guldina, a w nich twierdzenie znane dziś jako reguły Guldina...

obrazek

Oto ono

Twierdzenie. Jeśli figurę płaską ℱ o polu P i obwodzie d będziemy obracali wokół osi niemającej punktów wspólnych z wnętrzem ℱ i leżącej w tej samej co ona płaszczyźnie, to powstała bryła będzie miała objętość |2πsP i pole powierzchni 2π ¯sd, gdzie |s i |¯s to, odpowiednio, odległość środka ciężkości pola i środka ciężkości brzegu ℱ od osi.

Guldin uzasadnił je, sprawdzając, że z objętością tak jest, gdy obracamy prostokąt o boku równoległym do osi obrotu, a z polem powierzchni - gdy obracamy odcinek.

obrazek

Z obracania prostokąta otrzymamy walec o promieniu s b~2 z wyciętym walcem o promieniu s b~2, czyli bryłę o objętości

 2 2 π a s b~2 πa s b~2 πa s b~2 s b~2 s b~2 s b~2 2πsab.

Z obracania prostokąta otrzymamy walec o promieniu s b~2 z wyciętym walcem o promieniu s b~2,

obrazek

Z obracania odcinka otrzymamy stożek ścięty (lub walec) o polu powierzchni bocznej

π d s¯1 ¯s2 2πd¯s1---¯s2 2π¯sd. 2

Z obracania odcinka otrzymamy stożek ścięty (lub walec)

A potem stwierdził, że pole powierzchni można z dowolną dokładnością przybliżyć prostokącikami, a obwód odcineczkami i sprawdził, że środki ciężkości przy takim przybliżaniu zachowują się jak należy.

W niektórych książkach można znaleźć uogólnienie reguł Guldina, które przypisuje się żyjącemu 1300 lat wcześniej Pappusowi. W myśl tego uogólnienia można nie tylko mówić o obrotach, ale też o dowolnym ruchu. Wtedy we wzorach należy zastąpić |2πs i 2π ¯s, odpowiednio, przez drogę środka ciężkości powierzchni i drogę środka ciężkości brzegu ℱ.

Faktycznie, np. dla przesunięcia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny figury |ℱ tak jest. I jeszcze w bardzo wielu przypadkach. Ale twierdzenia matematyki muszą być spełnione we wszystkich dopuszczonych przez założenia sytuacjach. A tu tak nie jest.

Czytelnik Ambitny znajdzie przykłady przeczące tak śmiałemu uogólnieniu, a nawet wskaże, jak należałoby wzmocnić założenia, by uogólnienie uratować. Mniej ambitny znajdzie odpowiedź w numerze.

obrazek

A my wrócimy do oryginalnych reguł Guldina, by obliczyć objętość i pole powierzchni torusa. Torus to bryła powstała w wyniku obracania koła wokół prostej leżącej w jego płaszczyźnie i niemającej z tym kołem punktów wspólnych. Środek ciężkości powierzchni koła jest też środkiem ciężkości ograniczającego je okręgu - to środek koła (gdyby było inaczej, obracając koło, otrzymalibyśmy wiele środków ciężkości). Zatem (patrz rysunek) s = s¯= R, pole obracanego koła to  2 |πr , a długość ograniczającego je okręgu to 2πr. Mamy więc

Vtorusa = 2πR πr2 = 2π2Rr2, Storusa = 2π R2πr = 4π2Rr.

A na zakończenie zagadka: przyjrzyjmy się półkolu - czy bliżej odcinającej je średnicy leży środek ciężkości powierzchni półkola, czy też ograniczającego je półokręgu? Zapytajmy o to kolegów, a sami obliczmy.

Z obracania półkola względem odcinającej go średnicy otrzymujemy kulę - jej objętość to |4πr3, 3 a pole powierzchni to 4 πr2. Z reguł Guldina mamy więc

pict

A więc środek ciężkości półkola leży bliżej średnicy niż środek półokręgu. Czy koledzy zgadli?