Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Czy Ziemia jest płaska? A może jednak?

Michał Miśkiewicz

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: październik 2016
  • Publikacja elektroniczna: 2 października 2016
  • Wersja do druku [application/pdf]: (78 KB)

W artykule Czy Ziemia jest płaska (Delta 4/2016) pokazaliśmy, że sfera (będąca uproszczonym modelem powierzchni Ziemi) nie jest płaska, to znaczy nie daje się podzielić na fragmenty, z których każdy byłby izometryczny z pewnym fragmentem płaszczyzny. Przypomnijmy, że ta cecha odróżnia sferę od powierzchni bocznych walca i stożka. Pójdźmy więc dalej - czy jest możliwa taka gładka deformacja sfery, aby uzyskać powierzchnię płaską?

obrazek

Rys. 1

Rys. 1

Pytanie jest o tyle zasadne, że sama Ziemia nie ma kształtu idealnej kuli, tylko elipsoidy obrotowej, a i to tylko w przybliżeniu. Rysunek 1 pokazuje przykład gładkiej deformacji, w efekcie której otrzymujemy sześcian z wygładzonymi kantami. Istotnie, jego ściany są fragmentami płaszczyzny, a w okolicach krawędzi można wykorzystać fragmenty powierzchni walca. Jedyne niepłaskie części są w okolicach wierzchołków, ale może i tego da się uniknąć?

obrazek

Rys. 2

Rys. 2

Pokażemy, że taka deformacja nie jest możliwa. Aby to wykazać, wykorzystamy niezmiennik zwany charakterystyką Eulera. Można już było o nim przeczytać w artykule Wzór Eulera i balony (Delta 9/2005) oraz w Deltoidzie 3/2016. Przypomnijmy najpierw twierdzenie Eulera: dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzi wzór

V − E + F = 2,

gdzie V ,E,F to odpowiednio liczba jego wierzchołków, krawędzi i ścian. Oczywiście, wzór ten pozostanie słuszny, jeśli wielościan "nadmuchamy" w taki sposób, by jego powierzchnia miała kształt sfery. Charakterystyka Eulera sfery to po prostu liczba 2 pojawiająca się po prawej stronie przedstawionej równości. Dlaczego nazwaliśmy ją niezmiennikiem? Otóż jeśli będziemy rozważać wielościany na zdeformowanej sferze (na przykład tej z rysunku 1), wzór Eulera pozostanie w mocy. Jest tak, gdyż deformacja sfery wraz z rozrysowanym na niej wielościanem nie zmienia liczby jego wierzchołków, krawędzi i ścian. Obserwacja wydaje się błaha, ale odnotujmy, że dla wielościanów na torusie (powierzchni dętki) otrzymujemy inny wynik: |V − E + F = 0. Czytelnik może to sprawdzić na rysunku 2 Podobnie jak dla sfery, otrzymana liczba 0 nie zależy od wyboru wielościanu. W ten sposób przekonujemy się, że sfera i torus mają różne charakterystyki Eulera, w konsekwencji nie da się otrzymać jednej z tych powierzchni przez deformację drugiej.

Przypuśćmy więc przeciwnie, że zdeformowana w pewien sposób sfera jest płaska; dla przejrzystości ilustracje będą przedstawiały sferę bez deformacji, ale nie zmniejsza to ogólności rozważań. Płaskość oznacza, że każdy punkt ma otoczenie izometryczne z fragmentem płaszczyzny; każde takie otoczenie nazwiemy płatem. Do pokrycia całej sfery można wybrać pewną skończoną liczbę płatów, a następnie skupić uwagę jedynie na tej kolekcji (na przykład powierzchnię boczną walca da się pokryć dwoma płatami). Mapą nazwiemy izometrię przekształcającą płat we fragment płaszczyzny, a także obraz tej izometrii - w przypadku powierzchni Ziemi to pojęcie jest zbliżone do tego, co zwykliśmy oglądać w atlasach.

Skonstruujemy teraz wielościan spełniający poniższe trzy warunki:

(1)
Wszystkie ściany są trójkątami (mają po trzy krzywoliniowe boki).
(2)
Każdy z tych trójkątów zawiera się w pewnym płacie, a więc jest izometryczny z pewną figurą na płaszczyźnie.
(3)
Tak otrzymana figura na płaszczyźnie jest trójkątem prostoliniowym, czyli jej boki są odcinkami.

Warunek 1 jest bardzo łatwo spełnić, na przykład rysując na sferze ośmiościan foremny (powstaje on przez trzy prostopadłe cięcia). Dla spełnienia warunku 2 rysunek ten, być może, trzeba "zagęścić". W tym celu wybierzmy jedną ze ścian ośmiościanu i zrzutujmy ją na płaszczyznę tak, aby otrzymać trójkąt prostoliniowy (na przykład, stosując rzut środkowy). W otrzymanym trójkącie narysujmy środkowe, dzieląc go na sześć mniejszych trójkątów (nazywamy to podziałem barycentrycznym). Z każdym z powstałych trójkątów możemy zrobić to samo, i tak dalej wybraną liczbę razy. Następnie otrzymaną siatkę umieśćmy z powrotem na sferze. Przypomnijmy, że jest ona pokryta przez pewną liczbę płatów; jeśli podział będzie dostatecznie drobny (czyli podziału barycentrycznego dokonamy dostatecznie wiele razy), każdy z drobnych trójkącików będzie się mieścił w którymś z płatów.

obrazek

Rys. 3

Rys. 3

Na potrzeby ostatniego z warunków pozostaje "wyprostować krawędzie". Wybierzmy dowolną krawędź; leży ona w jednym z płatów i w odpowiedniej mapie jest pewną krzywą łączącą obrazy wierzchołków. Wystarczy zastąpić tę krzywą przez odcinek łączący te same punkty. Czytelnik Czujny może tutaj zrobić zastrzeżenie: wybrana krawędź potencjalnie leży w więcej niż jednym płacie, więc mogłoby się okazać, że krawędź wyprostowana w jednej mapie okaże się krzywa w innej. Tak jednak nie jest - uzasadnienie opiera się na stwierdzeniu, że złożenie dwóch izometrii jest izometrią, a izometrie płaszczyzny przekształcają odcinki na odcinki.

obrazek

Dla tak skonstruowanego wielościanu obliczymy teraz charakterystykę Eulera. Zbadajmy w tym celu sumę wszystkich kątów wewnętrznych w ścianach - rozumiemy przez to, oczywiście, kąty w trójkątach prostoliniowych powstałych po zmapowaniu ścian. Suma kątów przy każdym wierzchołku to 2π, a więc razem otrzymujemy V ⋅2π. Z drugiej strony, suma kątów wewnętrznych każdego z trójkątów wynosi π (to właśnie tutaj korzystamy z założenia płaskości!), więc łącznie dostajemy F ⋅π. Z przyrównania tych dwóch wielkości wynika równość V = 1F 2. Jeśli ponadto weźmiemy pod uwagę, że każda ściana ma trzy krawędzie, a każda krawędź rozdziela dwie ściany, to otrzymamy  3 E = 2F. W rezultacie obliczamy charakterystykę Eulera

 1 3 V −E + F = -F − --F + F = 0. 2 2

Otrzymana sprzeczność z twierdzeniem Eulera dowodzi, że nawet zdeformowana sfera nie może być płaska.

obrazek

Rys. 4

Rys. 4

Jeśli przeanalizować powyższy dowód dokładniej, to okaże się, że każda płaska powierzchnia zamknięta ma charakterystykę Eulera równą zeru. Przez powierzchnię zamkniętą rozumiemy ograniczoną (a więc nie płaszczyznę) i bez brzegu (co wyklucza powierzchnię boczną walca). Zamiast sfery możemy więc z tym samym skutkiem rozważać dwuprecel (o charakterystyce − 2 ) lub inny wieloprecel (charakterystyka precla o |n dziurach to − 2(n −1) ), ale już nie torus. Rzeczywiście, charakterystyka Eulera torusa wynosi 0, a więc nasze rozumowanie nie prowadzi do sprzeczności. To nie jest przypadek! Jeśli Czytelnik konstruował kiedyś torus z kartki papieru poprzez sklejenie odpowiednich boków (jak na rysunku 4), to zauważył, że o ile jedną parę boków można skleić bez trudu, to sklejenie drugiej bez załamania kartki jest już niemożliwe. Okazuje się, że w przestrzeni czterowymiarowej kartkę da się zgiąć i skleić, otrzymując w ten sposób płaski torus, ale to zupełnie inna historia...