Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Konkurs prac uczniowskich

Jak matematyk rzuca igłą?

Mateusz Wróbel

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: luty 2011
  • Publikacja elektroniczna: 1 lutego 2011
  • Wersja do druku [application/pdf]: (144 KB)
  • Jest to skrót pracy uczniowskiej nagrodzonej srebrnym medalem w XXXII Konkursie Prac Uczniowskich z Matematyki w 2010 roku (Olsztyn). Autor był uczniem I Publicznego Liceum Ogólnokształcącego im. Mikołaja Kopernika w Opolu.

Jednym z najbardziej znanych zagadnień prawdopodobieństwa geometrycznego jest problem igły Buffona. Treść tego zadania zna wiele osób, które, nawet jeśli nie znają sposobu rozwiązania, to wiedzą, że jest ono związane z liczbą math

Istotnie, pozwala to (w odpowiednim modelu matematycznym) wyznaczyć przez wykonanie serii doświadczeń wartość liczby math z dokładnością zależną od liczby doświadczeń.

obrazek

Rys. 1 Igła rzucona na podłogę z desek.

Rys. 1 Igła rzucona na podłogę z desek.

Problem. Na podłogę wyłożoną identycznymi, nieskończenie długimi deskami jedna obok drugiej (tak że nie ma między nimi przerw) rzucamy igłę o nierozróżnialnych końcach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła będzie dotykać miejsca styku dwóch desek?

Nie napiszę kolejny raz standardowego rozwiązania – jest ono wystarczająco rozpowszechnione. Zastanówmy się nad innym podejściem do tego problemu.

Niech math oznacza średnią liczbę przecięć odcinka o długości  math z prostymi rodziny  math przy jednym rzucie. Zauważmy, że jeśli nasz odcinek dowolnie podzielimy na dwie części o długości math i  math (oczywiście math oraz math), to wartość oczekiwana liczby przecięć, liczona dla mniejszych fragmentów, po zsumowaniu da wartość oczekiwaną liczby przecięć dla odcinka wyjściowego:

display-math(1)

Dodajmy jeszcze jedno proste spostrzeżenie: math

Podłogę możemy zastąpić płaszczyzną podzieloną rodziną prostych równoległych  math reprezentujących miejsca styku dwóch desek. Odległość między dwiema kolejnymi prostymi jest równa  math – szerokości deski. Jeżeli przyjmiemy realistyczne założenia, że grubość igły jest dużo mniejsza od szerokości deski oraz że igła nigdy nie upadnie na sztorc, to możemy traktować ją jak odcinek o długości  math

Z powyższej równości wynika bardzo ważny wniosek: wartość  math będzie taka sama, gdy zamiast odcinkiem będziemy „rzucać” dowolną łamaną o długości  math – wystarczy podzielić ją na kawałki prostoliniowe i użyć równości (1) tyle razy, ile tych kawałków będzie. Stąd dla dowolnego wielokąta o obwodzie równym  math w naszym doświadczeniu otrzymamy taką samą wartość oczekiwaną liczby przecięć z prostymi z rodziny  math jak dla igły o długości  math. Tę własność mają również krzywe o długości  math, które możemy podzielić na małe fragmenty wyglądające prawie jak odcinki. Takie krzywe mogą być zamknięte (na przykład okrąg spełnia powyższy warunek). Dla uproszczenia zakładamy, że nie mają samoprzecięć (czyli ósemki nie uwzględniamy).

Zależność (1) jest równaniem funkcyjnym, zwanym równaniem Cauchy’ego, które przy założeniu ciągłości szukanej funkcji  math spełniają tylko funkcje liniowe:

display-math(2)

gdzie math jest stałą. Stałą  math można wyznaczyć, zauważając, że okrąg o promieniu math, przy dowolnym ułożeniu na rozważanym podłożu, zawsze będzie miał dokładnie dwa punkty wspólne z narysowanymi prostymi. Obwód tego okręgu wynosi math, stąd

display-math

a więc math

Zauważmy, że odcinek o długości math może przeciąć co najwyżej jedną prostą z rodziny  math. Zatem w tym przypadku

display-math

gdzie math jest szukanym prawdopodobieństwem przecięcia odcinka i prostej z  math. To daje nam oczekiwany wynik:

display-math

Stąd właściwie „za darmo” otrzymujemy dowód twierdzenia Barbiera. Zanim przejdziemy do szczegółów, zwróćmy uwagę, że do wyznaczenia stałej  math z równości (2) może posłużyć dowolna krzywa o następującej własności:

przy każdym położeniu takiej krzywej na naszym podłożu, podzielonym prostymi równoległymi z rodziny  math, przecina się ona z prostymi w dokładnie dwóch punktach.

obrazek

Niech punkty math będą wierzchołkami trójkąta równobocznego. Zakreślmy łuk łączący punkty math i  math i mający środek w punkcie  math . Analogicznie zakreślamy łuki od punktu math do  math i środku w  math oraz od math do  math o środku w  math . Łuki te tworzą trójkąt Reuleaux.

Rys. 2 Trójkąt Reuleaux.

Takie krzywe nazywają się krzywymi o stałej szerokości, a najpopularniejszym przykładem takiej krzywej, różnym od okręgu, jest trójkąt Reuleaux. Dodajmy jeszcze, że różnych, parami niepodobnych krzywych, o stałej (i ustalonej) szerokości jest nieskończenie wiele.

Twierdzenie (Barbier, 1860). Figury o stałej szerokości  math mają jednakowe obwody równe  math

Dowód. Załóżmy, że math jest figurą o stałej szerokości  math. Figura  math dowolnie umieszczona na płaszczyźnie z narysowaną rodziną prostych  math będzie mieć dokładnie dwa punkty wspólne z tymi prostymi. Jeśli math oznacza obwód figury  math, to bezpośrednio z definicji funkcji  math mamy

display-math

Z drugiej strony wiemy już, że math, i dlatego

display-math

Skąd natychmiast otrzymujemy math – obwód figury  math zależy więc jedynie od szerokości  math.


obrazek

Rys. 3 Igła rzucona na płaszczyznę podzieloną rodzinami prostych mathmath

Rys. 3 Igła rzucona na płaszczyznę podzieloną rodzinami prostych mathmath

Zajmijmy się teraz nieco innym zadaniem. Dorysujmy na płaszczyźnie rodzinę prostych równoległych  math, takich że odległość między dwiema kolejnymi prostymi z tej rodziny jest równa  math, a rodzina prostych  math przecina proste  math pod danym kątem math. W ten sposób otrzymujemy płaszczyznę podzieloną prostymi na przystające równoległoboki. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie równocześnie którąkolwiek z prostych rodziny  math i prostych rodziny  math w tej, nieco ogólniejszej, sytuacji. Poniżej przedstawię rozwiązanie metodą „standardową”, jednak zachęcam do poszukiwania metody podobnej do powyższej, za pomocą równania funkcyjnego.

Położenie igły w tym przypadku najlepiej określić, znając kąt math między igłą a prostą rodziny  math, odległość math środka igły od najbliższej prostej z rodziny  math oraz odległość math środka igły od najbliższej prostej rodziny  math.

obrazek

Rys. 4 Zbiór math zdarzeń, w których igła przecina prostą z math i prostą z  math

Rys. 4 Zbiór math zdarzeń, w których igła przecina prostą z math i prostą z  math

Przestrzenią zdarzeń elementarnych  math jest zbiór

display-math

Igła przetnie proste, gdy parametry math spełniają warunki

display-math(3)


Do obliczenia miary (objętości) powyższego podzbioru  math przestrzeni  math możemy wykorzystać regułę Cavalieriego: żeby otrzymać objętość  math , całkujemy względem math pola przekrojów  math płaszczyznami math . Łatwo sprawdzić, że każdy przekrój figury  math płaszczyzną math dla math jest prostokątem o wymiarach math na math. Otrzymujemy więc

pict

Gdy math, szukane prawdopodobieństwo wyraża się przez stosunek objętości obszaru  math do objętości prostopadłościanu  math :

display-math

Można zastanawiać się nad podobnymi zagadnieniami: na przykład, ciekawy wydaje się rzut igłą na płaszczyznę z narysowaną mozaiką złożoną z przystających prostokątów, tworzących „mur z cegieł”. Rozwiązanie tego problemu pozostawiam Czytelnikom.