Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Mała Delta

Geometryczne liczby

Grzegorz Kosacki

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: wrzesień 2011
  • Publikacja elektroniczna: 31-08-2011
  • Autor: Grzegorz Kosacki
    Afiliacja: student, Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
  • Wersja do druku [application/pdf]: (210 KB)

Trzy kółeczka łatwo ułożyć w trójkąt foremny (czyli równoboczny), cztery w czworokąt foremny (czyli kwadrat), pięć w pięciokąt foremny itd. Można więc 3 uważać za liczbę trójkątną, cztery za czworokątną, pięć za pięciokątną itd. Rysunki poniżej pokazują, jak można, rysując kropki, określić inne liczby wielokątne.

obrazek

Jeśli umówimy się, że 1 jest liczbą math-kątną dla dowolnego math to liczbami trójkątnymi będą math czworokątnymi math pięciokątnymi math sześciokątnymi math Można znajdować i badać wynikające z obserwacji tych liczb prawidłowości: np. (n+1)-szą liczbę trójkątną uzyskujemy, dodając do poprzedniej n+1. Albo: suma math kolejnych liczb nieparzystych to math W dawnych wiekach tego rodzaju spostrzeżenia dały początek pasjonującej do dziś wielu mistyków numerologii. Można też – bardziej matematycznie – znaleźć ogólny wzór na math-tą liczbę math-kątną. Może on wyglądać, na przykład,

display-math

Oczywiście, w podobny sposób można układać z kuleczek wielościany. Gdybyśmy jednak chcieli trzymać się słowa foremny, które wystąpiło w definicji liczb wielokątnych, otrzymalibyśmy tylko pięć takich ciągów, bo istnieje tylko pięć wielościanów foremnych:

obrazek
obrazek

A na dodatek trudno określić, jak miałyby wyglądać kolejne wyrazy takich ciągów – zresztą proszę spróbować.

Dla sześcianu można to sobie jeszcze wyobrazić: math Może jeszcze dla czworościanu i ośmiościanu daje się coś wymyślić. Ale np. jak by to było dla dwudziestościanu?


Dlatego więc bardziej popularne są liczby piramidalne.

obrazek

Jak widać na rysunkach, jest to wynik układania na kulkach reprezentujących math-tą liczbę math-kątną kulek reprezentujących math-szą liczbę math-kątną, aż do pojedynczej kulki.

Na rysunku z lewej jest piąta liczba piramidalna trójkątna, czyli 35. Na pozostałych rysunkach można policzyć, ile kulek składa się na piątą liczbę piramidalną czworokątną i piątą liczbę piramidalną pięciokątną. Ale można też – korzystając z faktu, że math-ta liczba piramidalna math-kątna jest sumą początkowych math liczb math-kątnych – wyprowadzić sobie wzór na nią. Proszę sprawdzić, że otrzymamy

display-math

Dla liczb piramidalnych czworokątnych będzie to akurat suma kwadratów początkowych math liczb. A czy są tu jeszcze jakieś inne ciekawostki?

Od sytuacji dwuwymiarowej (wielokąty) przeszliśmy do sytuacji trójwymiarowej (piramidy, czyli wielościany), a co dalej? Gdy braknie nam wyobraźni, zawsze mamy jeszcze możność posługiwania się analogiami. Liczby piramidalne, czyli trójwymiarowe, otrzymaliśmy przez sumowanie liczb wielokątnych, czyli dwuwymiarowych. Możemy więc – przez analogię – przyjąć następującą definicję:

Definicja. math-tą liczbą math-kątną math -wymiarową nazywamy liczbę będącą sumą pierwszych math liczb math-kątnych math -wymiarowych.

Jakie to liczby? Początek znamy: math-te liczby math-kątne dwuwymiarowa i trójwymiarowa to (patrz wyżej)

display-math

Wpadamy więc na pomysł, że może math-ta liczba math-kątna czterowymiarowa to

display-math

Drogi Czytelniku, sprawdź, korzystając z definicji, że ten pomysł jest rzeczywiście trafny.

A dla prawdziwych Bohaterów Zmagań Rachunkowych mamy do sprawdzenia dwie postacie wzoru na math-tą liczbę math-kątną math -wymiarową

display-math

Notice: Undefined index: story_alias_uuid in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 23 Notice: Undefined index: story_alias_uri in /home/misc/deltami/public_html/ui/inc/site_php_include/index.inc on line 24