Przeskocz do treści

Delta mi!

Loading

Kilka słów o wymiarze

Sławomir Nowak

o artykule ...

  • Publikacja w Delcie: lipiec 2011
  • Publikacja elektroniczna: 01-07-2011
  • Autor: Sławomir Nowak
    Afiliacja: Wydział Matematyki, Informatyki i~Mechaniki, Uniwersytet~Warszawski
obrazek

Obracający się sympleks czterowymiarowy

Animacja

Ideą teorii wymiaru jest przyporządkowanie przestrzeni math liczby całkowitej (wymiaru math) tak, by było to zgodne z intuicyjnym znaczeniem tego słowa. Dla uproszczenia skoncentrujemy się na podzbiorach przestrzeni Hilberta, która zawiera, między innymi, przestrzenie euklidesowe wszystkich wymiarów.

Oczywiste jest, że zbiór złożony ze skończenie wielu punktów ma wymiar 0, prosta euklidesowa math i odcinek – wymiar 1, płaszczyzna math i koło – wymiar 2, a przestrzeń trójwymiarowa math i pełna kula – wymiar 3. Mając do czynienia z bardzo prostymi obiektami, uznajemy, że wymiar jest równy odpowiednio 1, 2 lub 3 wtedy, gdy uda się w nim umieścić odcinek, dwa lub trzy odcinki wzajemnie prostopadłe. Zastanówmy się, jakie własności powinno mieć przyporządkowanie zbiorowi jego wymiaru. Wydaje się przede wszystkim, że wymiar powinien być niezmiennikiem topologicznym. Jeżeli pełny kwadrat ma wymiar 2, to wymiar 2 powinien mieć także ten sam kwadrat po tym, jak się go powygina i porozciąga w różnych kierunkach. Spodziewamy się także, że wymiar przestrzeni math  będącej sumą swoich domkniętych podzbiorów math  o wymiarach nie większych niż ustalona liczba math także nie może być większy od math Wynika stąd, że wymiar zbioru nie może być mniejszy niż wymiary jego podzbiorów. Nie może więc budzić także żadnych wątpliwości fakt, że wymiar wielościanu musi być równy największemu spośród wymiarów wszystkich sympleksów (odcinków, trójkątów, czworościanów itd.), których jest sumą (jest sumą skończenie wielu).

W wielu sytuacjach pojawiają się jednak obiekty bardziej złożone. Figury mogą np. być tak skomplikowane, że nie będą zawierać nie tylko żadnego odcinka, ale nawet podzbioru homeomorficznego z odcinkiem, a powinniśmy wiedzieć, w jaki sposób stwierdzić, czy są jedno-, dwu-, trój- czy więcej wymiarowe.

W 1912 roku Henri Poincaré zaproponował, by definicja wymiaru miała charakter indukcyjny oraz odwoływała się do własności rozcinania figury. Punktem wyjścia jego rozważań była obserwacja, że do rozcięcia prostej figury trójwymiarowej na części potrzeba powierzchni, do rozcięcia figury wymiaru 2 potrzebne są linie, a na to, by podzielić na części linię, potrzeba punktów.

Precyzyjną indukcyjną definicję wymiaru sformułowali niezależnie Paweł Uryson (1922) i Karl Menger (1923). Przyjęli oni, że zbiór pusty jest jedynym zbiorem o wymiarze równym math Jeżeli math jest liczbą naturalną lub math to wymiar math  jest nie większy niż math gdy dla każdego punktu math  oraz każdego jego otoczenia math  w math  istnieje otwarte otoczenie math  tego punktu, którego ograniczenie math ma wymiar math Jeżeli math  i nie jest prawdą, że math  to przyjmujemy, że math  Jeżeli math  dla math to mówimy, że wymiar math  jest nieskończony i piszemy math

Konsekwencją tej definicji jest np. to, że przestrzeń euklidesowa math i kostka wymiaru math nie mogą być rozcinane przez zbiory o wymiarze mniejszym niż  math natomiast podzbiór math może sam mieć wymiar math tylko wtedy, gdy ma punkty wewnętrzne, czyli zawiera kulę otwartą przestrzeni euklidesowej.

Mówimy, że zbiór math jest przegródką między rozłącznymi podzbiorami math  i math  zbioru math  albo przegródką oddzielającą math od math  jeżeli math  gdzie math  i math są takimi rozłącznymi otwartymi podzbiorami math  że math  math  Oznacza to w szczególności, iż math  jest domkniętym podzbiorem math  Odcinek łączący środki dwóch przeciwległych boków kwadratu jest przegródką oddzielającą dwa pozostałe boki. Żaden podzbiór kwadratu, położony w jego wnętrzu, nie może, oczywiście, ich oddzielać.

Wymiar przestrzeni można scharakteryzować, używając pojęcia przegródek. Nierówność math  zachodzi mianowicie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych rozłącznych podzbiorów domkniętych math  i math  istnieje przegródka math oddzielająca math  od math  o wymiarze math

Na płaszczyźnie euklidesowej jest znacznie więcej miejsca niż na prostej i mniej niż w przestrzeni trójwymiarowej. Uogólniając to, możemy się spodziewać, że w przestrzeni o większym wymiarze musi być więcej miejsca niż w przestrzeni o wymiarze mniejszym. Jeżeli math  jest przestrzenią zwartą, to okazuje się, na przykład, że nierówność math  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pokrycia math przestrzeni math  zbiorami otwartymi można znaleźć drobniejsze pokrycie otwarte math które daje się rozłożyć na sumę math rodzin math takich że zbiory należące do jednej ustalonej rodziny math są parami rozłączne ( math). Można także wykazać, iż nierówność math  jest równoważna temu, że dla każdego skończonego pokrycia otwartego przestrzeni math  można znaleźć takie drobniejsze pokrycie skończone, że przecięcie każdych math różnych zbiorów otwartych należących do niego jest zbiorem pustym.

Można się zastanawiać, czy lepszym i bliższym intuicji podejściem do problemu sformułowania ogólnej definicji wymiaru nie byłaby redukcja naszego zadania do badania wymiarów wielościanów coraz lepiej aproksymujących przestrzeń, której wymiar chcemy określić. Okazuje się jednak, że idąc tą drogą, otrzymuje się dokładnie to samo pojęcie, co poprzednio. Zbiór zwarty math  ma w szczególności wymiar nie większy niż math wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego math istnieje przekształcenie math w przestrzeń o tej własności, że punkt math oraz jego obraz math są oddalone o mniej niż math natomiast obraz całego math  jest wielościanem wymiaru co najwyżej math