Klub 44

Redaguje Marcin E. KUCZMA

Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
891 (\(WT = 1{,}36\)) i 892 (\(WT = 2{,}14\))
z numeru 12/2024

Krzysztof Zygan	Lubin	43,39
Andrzej Kurach	Ryjewo	43,21
Janusz Olszewski	Warszawa	40,67
Michał Warmuz	Żywiec	40,04
Marcin Kasperski	Warszawa	39,14
Andrzej Daniluk	Warszawa	37,89
Grzegorz Wiączkowski		36,58
Marek Spychała	Warszawa	35,24
Marian Łupieżowiec	Gliwice	34,85
Krzysztof Kamiński	Pabianice	34,36
Piotr Wiśniewski	Warszawa	33,97
Krzysztof Maziarz	Londyn	33,32

Rozwiązania zadań z numeru 3/2025

897. Na płaszczyźnie zespolonej punkty \(A,B,C,D,E\) są reprezentowane przez liczby \(a,b,c,d,e\) (położenie punktu 0 nie ma znaczenia). Mamy udowodnić nierówność \({p\ge{m+n+DE}},\) czyli \[|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|\ge|a-c|+|b-d|+|d-e|. \tag{1}\] Przyjmijmy oznaczenia: \({a-b=x},\) \({b-c=y},\) \({c-d=z}.\) Wówczas \[a-d=x+y+z;\ \ \ \ a-e=y\] (skorzystaliśmy z założenia, że \(ABCE\) to równoległobok); \[e-d=(a-d)-(a-e)=x+z.\] Wprowadzamy te oznaczenia do (1) i dostajemy do udowodnienia nierówność \[|x|+|y|+|z|+|x+y+z|\ge|x+y|+|y+z|+|z+x|. \tag{2}\] Wobec jednorodności można przyjąć, że \({x+y+z=1}\) (ta suma nie może być zerowa, bo \({a\ne{d}}\)). To sprowadza nierówność (2) do postaci \[|x|+|y|+|z|+1\ge|1-z|+|1-x|+|1-y|.\] Obie strony są nieujemne. Podnosząc je do kwadratu, uzyskamy (do dowodu) nierówność równoważną: \[\sum|x|^2+2\sum|xy|+2\sum|x|+1\ge\sum|1-x|^2+2\sum|(1-x)(1-y)| \tag{3}\] (symbol \(\sum\) oznacza sumowanie cykliczne w zmiennych \(x,y,z\)). Zauważając, że \({(1-x)(1-y)=xy+z},\) przekształcamy (3) do postaci kolejno równoważnych: \[\begin{aligned} \sum|x|^2+2\sum|xy|+2\sum|z|+1 & \ge\sum(1-2{\rm{Re}}\,x+|x|^2)+2\sum|xy+z|; \\ 2\sum(|xy|+|z|)+1 & \ge3-2\sum{\rm{Re}}\,x+2\sum|xy+z|; \\ 2\sum(|xy|+|z|-|xy+z|) & \ge2(1-\sum{\rm{Re}}\,x). \\ \end{aligned}\] Ostatnia nierówność jest banalnie prawdziwa: lewa strona jest nieujemna, a prawa jest równa zeru, bo \({\sum{x}=1}.\) To dowodzi słuszności nierówności we wszystkich wcześniejszych postaciach, więc i tezy (1).

[Uwaga. Nierówność (2) zachodzi dla każdej trójki liczb zespolonych, jak pokazuje przeprowadzony rachunek. Kontekst geometryczny służy jako jej interpretacja. Zbędne jest założenie wypukłości czworokąta; to może być dowolna linia łamana \(ABCD,\) nawet z fragmentami pokrywającymi się. Proponujemy Czytelnikom, jako ćwiczenie, rozpoznanie sytuacji, gdy (2) staje się równością.]

898. Trójmian \(T\) rozkłada się na czynniki liniowe \({T(x)=(x-\alpha)(x-\beta)},\) gdzie \({\alpha=-\frac12+\frac12\sqrt3\,i},\) \({\beta=-\frac12-\frac12\sqrt3\,i}.\) Zatem \(W\) dzieli się przez \(T\) wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez \({(x-\alpha)}\) i \({(x-\beta)}\); równoważnie (tw. Bézout) – gdy \[W(\alpha)=0,\ \ \ \ W(\beta)=0. \tag{4}\] Istotne są reszty z dzielenia \(m,n\) przez 3: \[\alpha^m= \begin{cases} 1 & \text{gdy $m\equiv0$~(mod~3),} \\ \alpha & \text{gdy $m\equiv1$~(mod~3),} \\ \beta & \text{gdy $m\equiv2$~(mod~3),} \end{cases} \ \ \ \hbox{i~podobnie}\;\alpha^n,\beta^m,\beta^n. \tag{5}\] Jeśli \(m\) dzieli się przez 3, to \({W(\alpha)=\alpha^m+\alpha^n+1=2+\alpha^n\ne0},\) warunek (4) nie jest spełniony; podobnie wykluczamy przypadek, w którym \(n\) dzieli się przez 3. Pozostają \({m,n\equiv1,2}\) (mod 3). Łatwo teraz ze wzoru (5) uzyskać ostateczną odpowiedź: warunek (4) (równoważny podzielności wielomianu \(W\) przez \(T\)) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy \({m\equiv1,\;n\equiv2}\) (mod 3) lub \({m\equiv2,\;n\equiv1}\) (mod 3).

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA

Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
788 (\(WT=2{,}37\)), 789 (\(WT=1{,}99\))
z numeru 12/2024

Tomasz Wietecha (Tarnów)	18 –  44+3,02
Jacek Konieczny (Poznań)	41,11
Jan Zambrzycki (Białystok)	4 – 31,23
Andrzej Nowogrodzki
(Chocianów)	3 – 29,48



Rys. 2      

794. Soczewka z wyciętym paskiem dzieli światło ze źródła \(S\) na dwie wiązki. Tam, gdzie wiązki przecinają się, możemy obserwować prążki interferencyjne.

Górna część obciętej soczewki daje obraz \(S_{1}\) źródła \(S\) (promień \(AS_{1}\) przecina równoległy do \(SA\) promień \(KO_{1}\) w  punkcie \(M\) płaszczyzny ogniskowej). Obraz \(S_{2}\) źródła w dolnej części soczewki leży po drugiej stronie osi układu i jest spójny z  \(S_{1}\). Obszar przecięcia wiązek znajduje się między soczewką oraz punktem \(E\) przecięcia promieni \(AS_{1}\) i \(BS_{2}\). W odległości \(l\) od soczewki przekrój tego obszaru jest największy.

W przybliżeniu małych kątów w odległości \(L\) od odcinka \(S_{1}S_{2}\) możemy obserwować \(N = |CD|/\mathrm{\Delta}x\) jasnych prążków, gdzie \({\Delta}x = \lambda L/d\) jest szerokością prążka, a  \(d\) to długość odcinka \(S_{1}S_{2}\).

Gdy płaszczyzna obserwacji oddala się od soczewki, szerokość prążków maleje. Szerokość obszaru przecięcia wiązek rośnie przed płaszczyzną \(CD\), a następnie maleje szybciej niż szerokość prążka. Maksymalną liczbę prążków obserwujemy więc w płaszczyźnie \(CD\).

Z podobieństwa trójkątów \(OCD\) i \(OF_{1}F_{2}\): \[|CD| = al/f,\ \ \ N = ald/f\lambda L.\] Z podobieństwa trójkątów \(S_{1}S_{2}C\) i \(AOC\): \[l/L = (D - a)/2d.\] Szukana maksymalna liczba prążków na ekranie: \[N = a(D - a)/2f\lambda = 450.\]

795. Płytka i chmura elektronów tworzą kondensator płaski. Pole między okładkami ma natężenie \(E = en/\varepsilon_{0}\). Na górnej granicy chmury prędkość elektronów wynosi \(v_{0}\), na dolnej ich przyspieszenie ma wartość \(a = eE/m = e^{2}n/\left( m\varepsilon_{0} \right)\). Do chwili \(t\) górne elektrony przebędą drogę \(h_{1} = v_{0}(\tau + t)\), a dolne \(h_{2} = v_{0}t - at^{2}/2\), stąd szukana grubość chmury: \[h = h_{2} - h_{1} = v_{0}\tau + e^{2}nt^{2}/ 2m\varepsilon_{0} , \text{ gdy }t < 2v_{0}/a.\] Po czasie \(t_{0} = 2v_{0}/a\) dolne elektrony zaczną wracać na płytkę, a górne nie zmienią swego ruchu, zatem dla czasu \(t \geq 2v_{0}/a\ \) grubość chmury \(h = v_{0}(t + \tau)\).