Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Rys. 1
Rys. 2
Przed przystąpieniem do lektury warto zapoznać się z trygonometrycznym twierdzeniem Cevy, do czego znakomicie nadaje się poprzedni kącik.
Rozważmy kąt wypukły \(AOB\) oraz punkty \(X\) i \(Y\) wewnątrz niego. Mówimy, że proste \(OX\) i \(OY\) są izogonalnie sprzężone względem tego kąta, jeśli \({|\angle AOX|=|\angle BOY|}\) (lub równoważnie: \(|\angle AOY|=|\angle BOX|\)).
Twierdzenie 1. Rozważmy sytuację z pierwszego rysunku. Punkty \(X_A\) i \(X_B\) są rzutami prostokątnymi punktu \(X\) na ramiona kąta \(AOB\); analogicznie jest z \(Y_A\) i \(Y_B.\) Wówczas proste \(OX\) i \(OY\) są izogonalnie sprzężone względem kąta \(AOB\) wtedy i tylko wtedy, gdy na czworokącie \(X_AY_AY_BX_B\) można opisać okrąg. W takiej sytuacji środkiem wspomnianego okręgu jest środek odcinka \(XY.\)
Dowód. Na czworokątach \(OX_AXX_B\) i \(OY_AYY_B\) można opisać okręgi (o średnicach \(OX\) i \(OY\)), więc mamy następujący ciąg równoważności:
\(|\angle
AOX|=|\angle BOY| \Leftrightarrow|\angle X_AX_BX|=|\angle Y_BY_AY| \Leftrightarrow|\angle OX_BX_A| =
|\angle OY_AY_B| \Leftrightarrow\) na czworokącie \(X_AY_AY_BX_B\) można opisać okrąg. Na
koniec zaobserwujmy, że środek odcinka \(XY\) leży na symetralnych odcinków
\(X_AY_A\) i \(X_BY_B,\) ponieważ \(X_AY_AYX\) i \(Y_BX_BXY\) są trapezami prostokątnymi. Z tego wnioskujemy, że jest to środek okręgu opisanego na czworokącie \(X_AX_BY_BY_A.\)
Twierdzenie 2. Niech punkt \(T_1\) będzie wspólnym punktem czewian \(AP_1,\) \(BQ_1\) i \(CR_1,\) a punkty \(P_2,\) \(Q_2,\) \(R_2\) są wybrane w taki sposób, by proste \(AP_2,\) \(BQ_2,\) \(CR_2\) były izogonalnie sprzężone z, odpowiednio, \(AP_1,\) \(BQ_1,\) \(CR_1\) w kątach \(BAC,\) \(CBA,\) \(ACB.\) Przy powyższych założeniach odcinki \(AP_2,\) \(BQ_2,\) \(CR_2\) również przecinają się w jednym punkcie (rysunek 2).
Dowód. Oznaczmy miary kątów trójkąta \(ABC\) przy wierzchołkach \(A,\) \(B,\) \(C,\) przez, odpowiednio, \(\alpha,\) \(\beta,\) \(\gamma.\) Niech ponadto (są to kąty zaznaczone na rysunku 2): \[\begin{aligned} \alpha_1 & = |\angle BAP_1|=|\angle P_2AC|, \\ \beta_1 & = |\angle CBQ_1|=|\angle Q_2BA|, \\ \gamma_1 & = |\angle ACR_1|=|\angle R_2CB|. \end{aligned}\] oraz \(\alpha_2=\alpha-\alpha_1\); analogicznie \(\beta_2\) i \(\gamma_2.\) Skorzystamy z trygonometrycznego twierdzenia Cevy. Dla czewian \(AP_1,\) \(BQ_1,\) \(CR_1\) oraz, odpowiednio, dla czewian \(AP_2,\) \(BQ_2,\) \(CR_2\) otrzymujemy \[t_1 = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\cdot\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\cdot\frac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2}, \ \ \ t_2 = \frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1}\cdot\frac{\sin\beta_2}{\sin\beta_1}\cdot\frac{\sin\gamma_2}{\sin\gamma_1}.\] Zwróćmy uwagę, że powyższe wzory pozostają prawdziwe niezależnie od wyboru czewian \(AP_1,\) \(BQ_1,\) \(CR_1\) wewnątrz trójkąta \(ABC.\) Ponieważ \(t_1t_2=1,\) mamy \(t_1=1\Leftrightarrow t_2=1,\) co kończy dowód.
W tej sytuacji punkty \(T_1\) i \(T_2\) nazywamy izogonalnie sprzężonymi w trójkącie \(ABC.\) Oto kilka słynnych par takich punktów: środek okręgu wpisanego ze sobą, środek okręgu opisanego z ortocentrum, środek ciężkości z punktem Lemoine’a, punkt Gergonne’a z punktem Nagela, punkty Brocarda jeden z drugim.
Zadania
-
Wykazać, że punkty \(T_1\) i \(T_2\) są sprzężone izogonalnie w trójkącie \(ABC\) wtedy i tylko wtedy, gdy rzuty prostokątne punktów \(T_1\) i \(T_2\) na boki trójkąta \(ABC\) (łącznie \(6\) punktów) leżą na jednym okręgu, którego środek pokrywa się ze środkiem odcinka \(T_1T_2.\)
Wskazówka Wystarczy skorzystać z twierdzenia 1 dla dwóch kątów trójkąta.
-
Znaleźć związek zadania 1 z okręgiem dziewięciu punktów.
Wskazówka Środek okręgu opisanego i ortocentrum są izogonalnie sprzężone, a ich rzuty prostokątne na boki trójkąta to spodki wysokości i środki boków.
-
Dany jest trójkąt \(ABC,\) w którym \(|\angle ABC|>90^\circ.\) Punkty \(P\) i \(Q\) leżą na symetralnej odcinka \(AB,\) wewnątrz kąta \(ACB,\) przy czym \(|\angle ACP|=|\angle BCQ|.\) Dowieść, że \(|\angle PAC|+|\angle QBC|=180^\circ.\) (Obóz OM, 2004)
Wskazówka Niech \(K\) będzie przecięciem symetralnej odcinka \(AB\) z prostą \(BC.\) Punkty \(P\) i \(Q\) są izogonalnie sprzężone w trójkącie \(KAC.\)
-
Na bokach trójkąta \(ABC\) zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty \(ABDE,\) \(BCGF,\) \(CAHI.\) Udowodnić, że symetralne odcinków \(DF,\) \(GI,\) \(HE\) przecinają się w jednym punkcie. (Obóz OM, 2004)
Wskazówka Niech \(K,\) \(L,\) \(M\) będą środkami okręgów opisanych na trójkątach, odpowiednio, \(AHE,\) \(BDF,\) \(CGI.\) Proste \(KA,\) \(LB,\) \(MC\) są współpękowe (przecinają się w środku jednokładności trójkątów \(KLM\) i \(ABC\)). Wystarczy udowodnić, że czewiany trójkąta \(KLM\) zawarte w symetralnych odcinków \(HE,\) \(DF,\) \(GI\) są izogonalnie sprzężone, w odpowiednich kątach, do czewian \(KA,\) \(LB,\) \(MC.\)