Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Delta, styczeń 2011

o artykule ...

Publikacja w Delcie: styczeń 2011
Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

W roku szkolnym 2010/2011 odbywa się szósta edycja Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. Jest to już od kilku lat najbardziej prestiżowy ogólnopolski konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjów.

Pierwszy etap (korespondencyjny) zakończył się 25 października.Wzięło w nim udział około 1000 uczniów (w momencie składania tego tekstu do druku nie była znana dokładna liczba uczestników). Jest to liczba porównywalna z poprzednią edycją OMG. Poniżej przedstawiamy wraz z przykładowymi rozwiązaniami trzy zadania z pierwszego etapu VI OMG, które – zdaniem autorów tego tekstu – należały do najciekawszych.

Narzędzia
Obiekty: Wielościany
Słowa kluczowe
Kategoria: Stereometria

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów»Zadanie 2

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zadanie pochodzi z artykułu VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Publikacja w Delcie: styczeń 2011
Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

W pewnym czworościanie każdy wierzchołek połączono odcinkiem ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie. Okazało się, że otrzymane odcinki są wysokościami czworościanu. Wykaż, że czworościan ten jest foremny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem okręgu opisanego na przeciwległej ścianie jest jednocześnie wysokością tego czworościanu, to krawędzie wychodzące z tego wierzchołka są równej długości. Oznaczmy wierzchołki czworościanu przez $\text{[math]}$ oraz długość krawędzi wychodzących z wierzchołka $\text{[math]}$ przez $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ . Wtedy krawędź $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ , wychodzi z wierzchołka $\text{[math]}$ oraz z wierzchołka $\text{[math]}$ . Oznacza to, że $\text{[math]}$ , a więc czworościan jest foremny.

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Matematyka

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zadanie pochodzi z artykułu VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Publikacja w Delcie: styczeń 2011
Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

W każde pole kwadratowej tablicy $\text{[math]}$ wpisano liczbę rzeczywistą. Okazało się, że suma liczb wpisanych w każde cztery pola, które można nakryć L-tetraminem, jest równa zeru. Wyznacz sumę liczb wpisanych w pola, które znajdują się na obu przekątnych tablicy.

Rozwiązanie

Oznaczmy liczbę wpisaną w $\text{[math]}$ -ty wiersz i $\text{[math]}$ -tą kolumnę tablicy przez $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ . Przykrywając L-tetraminem liczby $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , a następnie liczby $\text{[math]}$ , stwierdzamy, że $\text{[math]}$ . Postępując analogicznie, zauważamy, że $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Otrzymany wynik oznacza, że rozważana tablica jest okresowa o okresie $\text{[math]}$ . Innymi słowy, dowolny kwadrat wymiaru $\text{[math]}$ , zawarty w tej tablicy, ma postać jak na rysunku 2. Przykrywając L-tetraminem pierwsze dwie kolumny rozważanego kwadratu, wnioskujemy, że $\text{[math]}$ . Przykrywając L-tetraminem liczby $\text{[math]}$ , otrzymujemy $\text{[math]}$ , co razem z poprzednią równością daje $\text{[math]}$ . Przykrywając L-tetraminem liczby $\text{[math]}$ , wnioskujemy analogicznie, że $\text{[math]}$ . Zatem rozważana tablica zawiera tylko dwie różne liczby $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ parzystych i $\text{[math]}$ dla $\text{[math]}$ nieparzystych. Ponadto widzimy, że $\text{[math]}$ . Stąd suma wszystkich liczb stojących na obu głównych przekątnych tablicy wynosi

display-math

L-tetraminem nazywamy figurę składającą się z czterech kwadratów o boku 1.

L-tetramina można obracać i odbijać symetrycznie.

Narzędzia
Obiekty: Liczby naturalne , Równania
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów»Zadanie 7

o zadaniu...

Zadanie olimpijskie: VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Zadanie pochodzi z artykułu VI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
Publikacja w Delcie: styczeń 2011
Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

Udowodnij, że nie istnieją liczby nieparzyste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ spełniające równanie $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Zapiszmy rozważane równanie w postaci $\text{[math]}$ . Liczby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są nieparzyste i różnią się o $\text{[math]}$ . Jeżeli $\text{[math]}$ jest wspólnym dzielnikiem liczb $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ , to $\text{[math]}$ dzieli także różnicę tych liczb. Liczba $\text{[math]}$ (poza liczbami $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ ) ma tylko parzyste dzielniki i dlatego liczby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są względnie pierwsze. Wnioskujemy stąd, że $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ są liczbami nieparzystymi. Z definicji liczb $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ wiemy, że $\text{[math]}$ . Zauważmy, że liczba $\text{[math]}$ nie może być równa $\text{[math]}$ , ponieważ liczba $\text{[math]}$ jest nieparzysta. Pozostał do rozważenia przypadek $\text{[math]}$ . Wtedy $\text{[math]}$ , co prowadzi do równości $\text{[math]}$ . Jedyne pary liczb całkowitych $\text{[math]}$ , gdzie $\text{[math]}$ , spełniające tę równość, to $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . W obu przypadkach $\text{[math]}$ i otrzymujemy sprzeczność, która kończy rozwiązanie zadania.