Kącik przestrzenny

Czworościany ortocentryczne

Tym razem, zgodnie z obietnicą, kącik poświęcimy czworościanom ortocentrycznym. Jak wiadomo, nie w każdym czworościanie istnieje punkt przecięcia wszystkich wysokości. Czworościany mające taki punkt nazywane są ortocentrycznymi. Spróbujmy opisać je dokładniej.

Twierdzenie. Dla każdego czworościanu następujące warunki są równoważne:

(a): istnieje punkt przecięcia wszystkich wysokości,
(b): przeciwległe krawędzie są prostopadłe,
(c): sumy kwadratów długości przeciwległych krawędzi są równe,
(d): równoległościan opisany na czworościanie jest rombościanem,
(e): środki krawędzi leżą na jednej sferze,
(f): biśrodkowe są równej długości,
(g): kwadrat długości każdego odcinka łączącego środki przeciwległych krawędzi jest równy sumie kwadratów ich długości podzielonej przez 4,
(h): iloczyny cosinusów przeciwległych kątów dwuściennych są równe.

Dowód równoważności tych własności warto potraktować jako zadanie; rozwiązanie można znaleźć na internetowej stronie Delty.

Udowodnimy teraz pewną własność czworościanów ortocentrycznych analogiczną do prostej Eulera na płaszczyźnie, czyli prostej przechodzącej przez środek okręgu opisanego, środek ciężkości i ortocentrum danego trójkąta.

Na koniec zadanie dla Czytelników.

Jest to sfera dwunastu punktów – przestrzenny odpowiednik okręgu dziewięciu punktów, czyli okręgu przechodzącego przez środki boków danego trójkąta, spodki jego wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.