Rozważmy zbiór \[K= \{a+b\sqrt{2} : a,b \in \mathbb Q\}.\]
Artykuł jest skrótem pracy z 45. edycji Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego. Z pełną jej wersją można zapoznać się na stronie
deltami.edu.pl. Autor chciałby bardzo podziękować dr. hab. Mariuszowi Skałbie za opiekę merytoryczną.
Do tego zbioru należą zatem liczby \(1+2\sqrt{2}\) czy \(\frac{2}{3}+\frac{1}{8}\sqrt{2}.\) Oczywiście należą do niego wszystkie liczby wymierne (wystarczy wziąć \(b=0\)), w tym liczby \(0\) i \(1.\) Ponadto jeśli wezmę dowolne dwie liczby z \(K,\) to ich suma i różnica również należą do \(K.\) Tak samo jest z iloczynem, o czym przekonuje nas poniższa równość: \[(a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2})= (ac+2bd) + (bc+ad)\sqrt{2}.\] Operacja dzielenia też nie wyprowadza poza \(K,\) w czego uzasadnieniu pomaga szkolna sztuczka na pozbywanie się niewymierności z mianownika: \[\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}= \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}= \frac{ac-2bd}{c^2-2d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt{2}.\]
Strukturę, której elementy możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić z wyróżnionymi elementami 0 (którego dodanie nic nie zmienia) i 1 (mnożenie przez które nic nie zmienia), nazywamy ciałem. Ciałem jest zatem zbiór liczb rzeczywistych, wymiernych, lecz również opisany tu zbiór \(K.\)
Zdefiniujmy teraz funkcję \(\sigma: K\to K\) wzorem: \[\sigma(a+b\sqrt{2}) = a-b\sqrt{2}.\] Przekształcenie \(\sigma\) w ten sposób zdefiniowane ma ciekawe własności. Zacznijmy od tego, że dobrze się ono zachowuje ze względu na dodawanie i mnożenie. Niech \(x=a+b\sqrt{2},\) \(y=c+d\sqrt{2},\) gdzie \(a,b,c,d\in\mathbb{Q}.\) Wtedy: \[\begin{split} \sigma(x+y)&=\sigma(a+c+(b+d)\sqrt{2})=a+c-(b+d)\sqrt{2}\\&=a-b\sqrt{2} +c-d\sqrt{2}=\sigma{(x)}+\sigma{(y)},\\ \sigma(xy) & =\sigma\left((a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})\right)=\sigma(ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2} +2bd ) \\& = \sigma\left((ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\right)=(ac+2bd)-(ad+bc)\sqrt{2}\\ & = (a-b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2}) = \sigma(x)\sigma(y). \end{split}\] Pokazaliśmy, że \(\sigma\) jest addytywna i multiplikatywna. Co istotne, zachowuje ona elementy neutralne dodawania i mnożenia, czyli 0 i 1 – rzeczywiście, \(\sigma(0)=0\) oraz \(\sigma(1)=1.\)
Dla \(x\in K\) liczbę \(\sigma(x)\) nazywa się często sprzężeniem \(x.\)
Przedstawione tu własności pozwalają nazwać funkcję \(\sigma\) automorfizmem ciała \(K.\)
Chociaż \(\sigma\) jest bardzo porządną funkcją z algebraicznego punktu widzenia, to z analitycznego punktu widzenia już taka regularna nie jest. Wykażemy mianowicie, że \(\sigma\) nie jest ciągła w żadnym punkcie. Przypomnijmy najpierw definicję Heinego ciągłości funkcji: \[\begin{gathered} \mbox{\emph{$f$ jest ciągła w~punkcie $x_0$ wtedy i~tylko wtedy, gdy:}} \\ \forall{(x_n)}:\lim_{n\to\infty} x_n =x_0 \implies \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x_0). \end{gathered}\] Niech więc \(x_0 = a+b\sqrt{2},\) gdzie \(a,b\in \mathbb Q.\)
Definiujemy teraz ciąg \(x_n = a+b\sqrt{2}+{(1-\sqrt{2})}^n.\) Ponieważ \(|1-\sqrt{2}|<1,\) więc \[\lim_{n\to\infty} x_n = a+b\sqrt{2} = x_0.\]
Korzystając z własności funkcji \(\sigma,\) mamy: \[\sigma(x_n) = \sigma\big(a+b\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})^n\big) = a-b\sqrt{2} + (1+\sqrt{2})^n.{}\] Ponieważ \(1+\sqrt{2}>1,\) więc ciąg \((\sigma(x_n))\) jest rozbieżny. Zatem: \[\sigma (x_n) \not\to \sigma (x_0).\] Dowiedliśmy więc, że \(\sigma\) jest nieciągła w dowolnie wybranym punkcie \(x_0 \in K.\)
Spróbujemy teraz zbadać funkcję \(\sigma\) pod względem geometrycznym. W tym celu potrzebujemy odpowiednika funkcji \(\sigma\) zdefiniowanego na ,,płaszczyźnie”. Niech więc \(F:K^2 \to K^2\) będzie dla \(x,y \in K\) określone wzorem: \[F(x,y) = (\sigma(x), \sigma(y)).\] Tak zdefiniowane \(F\) ma bardzo ciekawe, paradoksalne wręcz, własności. Z jednej strony \(F\) jest bardzo nieregularne, bo wszędzie nieciągłe, co wynika z wyżej udowodnionej nieciągłości \(\sigma.\)
Z drugiej jednak strony \(F\) jest bardzo regularne, gdyż jest addytywne. Otóż dla \(x_1,y_1,x_2,y_2 \in K\) mamy: \[\begin{aligned} F((x_1,y_1) + (x_2,y_2)) & = F(x_1+x_2, y_1+y_2) = (\sigma(x_1+x_2), \sigma(y_1+y_2)) \\&= (\sigma(x_1)+\sigma(x_2), \sigma(y_1)+\sigma(y_2)) = F(x_1,y_1) + F(x_2,y_2). \end{aligned}\] Analogicznie możemy uzasadnić, że dla dowolnych \(\alpha,x_1,x_2\in K\) zachodzi \(F(\alpha\cdot(x_1,x_2))=\sigma(\alpha)\cdot F(x_1,x_2).\)
Co dla nas najważniejsze, z geometrycznego punktu widzenia \(F\) zachowuje pewne podstawowe własności geometryczne. Po pierwsze, \(F\) zachowuje współliniowość punktów. Wynika to z faktu, że jeśli \(X=(x_1,x_2),\) \(Y=(y_1,y_2)\) i \(Z=(z_1,z_2)\) są współliniowymi punktami z \(K^2,\) to \(X-Y=\alpha\cdot(X-Z)\) dla pewnej liczby \(\alpha\in K,\) a stąd \(F(X)-F(Y)=\sigma(\alpha)\cdot\big(F(X)-F(Z)\big).\) Dlatego obrazami prostych (w obcięciu do \(K^2\)) w przekształceniu \(F\) są proste. Ponieważ jednak funkcja \(\sigma\) może zmienić znak lub zamienić liczbę o module większym od 1 na taką o module mniejszym od 1 (np. dla \(\alpha=1+\sqrt{2}\)), obrazami odcinków nie są odcinki.
Ponadto \(F\) zachowuje równość odległości, czyli dla \(X,Y,Z,T \in K^2\) mamy: \[d(X, Y) = d(Z, T) \implies d(F(X), F(Y)) = d(F(Z), F(T)),\] gdzie przez \(d(\cdot ,\cdot)\) oznaczamy euklidesową odległość na płaszczyźnie. Sprawdzenie jest proste. Niech \(X = (x_1, x_2), Y= (y_1, y_2), Z=(z_1,z_2), T=(t_1,t_2).\) Ponieważ \(d((x_1,x_2), (y_1, y_2)) = d((z_1, z_2), (t_1, t_2)),\) więc \[(y_1-x_1)^2 + (y_2-x_2)^2 =(t_1-z_1)^2 + (t_2 - z_2)^2.\] Do obu stron przykładamy funkcję \(\sigma\): \[(\sigma(y_1) -\sigma(x_1))^2 +(\sigma(y_2) - \sigma(x_2))^2 = (\sigma(t_1) - \sigma(z_1))^2 + (\sigma(t_2) - \sigma(z_2))^2 .\] Zatem \[d(F(X), F(Y)) = d(F(Z), F(T)).\]
Rys. 1
To, że \(F\) zachowuje równość odległości, nie oznacza jednak, że jest izometrią. Na przykład dla punktów \(P_1 = (1,1+\sqrt{2}), P_2 = (2 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}),\) \({Q_1 = (-1,1+\sqrt{2}), Q_2 = (0,2+2\sqrt{2})}\) mamy \(d(P_1,P_2) = d(Q_1, Q_2).\) Ale na mocy (1) mamy też \(d(F(P_1), F(P_2)) = d(F(Q_1), F(Q_2)),\) jednakże, jak można zobaczyć na rysunku 1 (lub obliczyć), \(d(P_1,P_2) \neq d(F(P_1), F(P_2)).\)
Rys. 2. Przekształcenie \(F\) może zamienić wierzchołki trójkąta ostrokątnego na rozwartokątnego. Na powyższym rysunku mamy \(P_1 = (1+\frac{\sqrt{2}}{2},3+\sqrt{2}),\) \(P_2 = (1+\sqrt{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}),\) \(P_3 = (3+\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2})\)
Poza tym \(F\) zachowuje prostopadłość wektorów. Niech \(X, Y, Z \in K^2\) i załóżmy, że \(\measuredangle YXZ=90^\circ,\) czyli \(\langle X-Y, X-Z\rangle =0\): \[( x_1-y_1 )( x_1-z_1 ) + ( x_2-y_2 )( x_2-z_2 ) = 0.\] Po przyłożeniu funkcji \(\sigma\) do obu stron otrzymujemy: \[\big( \sigma(x_1)-\sigma(y_1) \big)\big( \sigma(x_1)-\sigma(z_1) \big) + \big( \sigma(x_2)-\sigma(y_2) \big)\big( \sigma(x_2)-\sigma(z_2) \big) = \sigma(0)=0,\] czyli \[\measuredangle F(Y)F(X)F(Z) = 90^\circ.\]
W ogólności przekształcenie \(F\) nie zachowuje jednak kątów między prostymi, co ilustruje rysunek 2.
Przekształcenie \(F\) godzi w sobie sprzeczne natury: dziką naturę analityczną (nigdzie nie jest ciągłe) i łagodną naturę algebraiczno-geometryczną (jest addytywne, zachowuje równość odległości i prostopadłość wektorów). Zachęcam Czytelnika do własnych badań nad jego własnościami!