Zachęcam Czytelnika, aby powrócił na chwilę do kącika nr 2 w \(\Delta_{19}^2\) – są tam definicje kilku podstawowych pojęć, występujących również w niniejszym tekście.Afiliacja: Uniwersytet im. A. Mickiewicza w Poznaniu
Przez \(S_n\) będę oznaczał zbiór wszystkich permutacji ciągu \((1,2,\ldots,n).\) Rozważmy wielomian \[\label{BB-W} \tag{W} W_{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{\sigma\in S_n}x_{\sigma(1)}^{\alpha_1}x_{\sigma(2)}^{\alpha_2}\ldots x_{\sigma(n)}^{\alpha_n}.\]
Zwróćmy uwagę, że permutujemy tu zmienne, pozostawiając wykładniki na swoich miejscach – można też na odwrót. Na użytek tego kącika, jeśli jest jasne, jakie zmienne występują, będę używał następujących zapisów: \[\begin{aligned} x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\ldots x_n^{\alpha_n} & = (\alpha_1\ \alpha_2\ \ldots \ \alpha_n), \\ W_{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) & = [\alpha_1\ \alpha_2\ \ldots \ \alpha_n] \end{aligned}\] Z samej definicji wynika, że wielomian (W) jest symetryczny. Co więcej, z dokładnością do stałej jest to „najmniejszy” wielomian symetryczny, w którym występuje składnik \((\alpha_1\ \alpha_2\ \ldots \ \alpha_n).\)
Więcej światła powinien rzucić przykład: \[\begin{gathered} W_{2,1,1}(x,y,z) \\ \begin{split} & = x^2y^1z^1 + y^2z^1x^1 + z^2x^1y^1 + z^2y^1x^1 + y^2x^1z^1 + x^2z^1y^1 \\&= 2x^2yz + 2y^2zx + 2z^2xy. \end{split} \end{gathered}\] Mamy tu sumę sześciu jednomianów, bo \(6=3!,\) ale niektóre są równe. Co więcej, po uporządkowaniu wszystkie jednomiany mają ten sam współczynnik. To nie jest przypadek. Niech w ciągu \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n\) będzie \(n_0\) zer, \(n_1\) jedynek, \(n_2\) dwójek itd. Wówczas wspólnym współczynnikiem jednomianów po uporządkowaniu wielomianu (W) jest \(n_0!\cdot n_1!\cdot n_2!\cdot\ldots,\) czego wykazanie pozostawiam Czytelnikowi jako nietrudne ćwiczenie z kombinatoryki.
Skoro w wielomianie (W) wszystkie współczynniki są równe, rozpatruje się czasem unormowaną jego wersję, w której wszystkie współczynniki są jedynkami: \[\label{BB-M} \tag{M} M_{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \frac{[\alpha_1 \ \alpha_2 \ \ldots \ \alpha_n]}{n_0!\cdot n_1!\cdot n_2!\cdot\ldots}.\] Jednymi z najważniejszych wielomianów symetrycznych są elementarne wielomiany symetryczne \[ \begin{gathered} E_k(x_1,\ldots,x_n)\\ = M_{1,\ldots,1,0,\ldots,0}(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n} x_{i_1}\ldots x_{i_k} \end{gathered}\tag{E} \] (w indeksie \(M\) jest dokładnie \(k\) jedynek). Pojawiają się one między innymi we wzorach Viete’a. W szczególności prawdziwa jest równość \[\begin{gathered} (1-x_1)(1-x_2)\ldots(1-x_n)\\ = 1 - E_1 + E_2 - E_3 + \ldots + (-1)^nE_n. \end{gathered}\]
A na koniec pomnożymy wielomiany takie jak (W). Powiedzmy, że jeden z nich jest sumą \(k\) jednomianów, a drugi – \(l\) jednomianów, więc, mnożąc tradycyjnie, trzeba wykonać \(kl\) mnożeń (a liczby \(k\) i \(l\) mogą być równe \(n!\)). Poniższa równość pozwala zmniejszyć liczbę mnożeń do \(\min\{k,l\}\): \[\begin{aligned} [\alpha_1\ \alpha_2\ \ldots \ \alpha_n] \cdot [\beta_1\ \beta_2\ \ldots \ \beta_n] & = \sum_{\sigma,\tau\in S_n} \big(\alpha_{\sigma(1)}\!+\!\beta_{\tau(1)} \ \alpha_{\sigma(2)}\!+\!\beta_{\tau(2)} \ \ldots \ \alpha_{\sigma(n)}\!+\!\beta_{\tau(n)}\big) \\ & = \sum_{\rho\in S_n} \big[\alpha_1\!+\!\beta_{\rho(1)} \ \alpha_2\!+\!\beta_{\rho(2)} \ \ldots \ \alpha_n\!+\!\beta_{\rho(n)}\big]. \end{aligned}\] Jako przykład obliczymy \([2\,1\,1\,0]\cdot[1\,1\,0\,0]\):
| + | \(1\,1\,0\,0\) | \(1\,0\,1\,0\) | \(1\,0\,0\,1\) | \(0\,1\,1\,0\) | \(0\,1\,0\,1\) | \(0\,0\,1\,1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2\,1\,1\,0\) | \(\mathbf{3\,2\,1\,0}\) | \(\mathbf{3\,1\,2\,0}\) | \(\mathbf{3\,1\,1\,1}\) | \(\mathbf{2\,2\,2\,0}\) | \(\mathbf{2\,2\,1\,1}\) | \(\mathbf{2\,1\,2\,1}\) |
Zadania
-
Wykazać, że każdy wielomian symetryczny zmiennych \(x\) i \(y\) można otrzymać z wielomianów \(x+y\) oraz \(xy,\) za pomocą dodawania i mnożenia wielomianów oraz mnożenia przez stałą.
Wskazówka Dla \(a\le b\) mamy \(x^ay^b+y^ax^b = (xy)^a(x^{b-a}+y^{b-a}),\) więc wystarczy przeprowadzić dowód dla wielomianów postaci \(x^c+y^c.\)
Ciekawostka. Jest to szczególny przypadek zasadniczego twierdzenia o wielomianach symetrycznych, wedle którego wszystkie wielomiany symetryczne \(n\) zmiennych można „wygenerować” z wielomianów \(E_1,E_2,\ldots,E_n.\) -
Wiedząc, że \[x+y+z=a,\ \ \ x^2+y^2+z^2=b,\ \ \ x^3+y^3+z^3=c,\] znaleźć wielomian sześcienny, którego pierwiastkami są \(x,\) \(y,\) \(z.\)
Wskazówka Z równości \(a=E_1,\) \(b=E_1^2-2E_2\) oraz \({c=E_1^3-3E_1E_2+3E_3}\) wyznaczyć \(E_1,\) \(E_2,\) \(E_3\) za pomocą \(a,\) \(b,\) \(c.\)
-
Niech \(a,b,c,d\neq0,1\) będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że jeśli \[a+b+c+d = \tfrac1a+\tfrac1b+\tfrac1c+\tfrac1d = 2,\] to również \(\frac1{1-a}+\frac1{1-b}+\frac1{1-c}+\frac1{1-d} = 2.\)
Wskazówka \(\frac 1{1-a}+\frac 1{1-b}+\frac 1{1-c}+\frac 1{1-d} = \frac{4-3E_1+2E_2-E_3}{1-E_1+E_2-E_3+E_4}.\)