Zadania z matematyki nr 917, 918
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 V 2026
Redaguje Marcin E. KUCZMA
917. Znaleźć największą liczbę \(c,\) mającą tę własność, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) spełniona jest nierówność \({|x^n-1|\ge{c}|x-1|}.\)
918. W trójkącie \(ABC\) punkty \(D,E,F\) są spodkami wysokości \(AD,\) \(BE,\) \(CF.\) Proste \(DE\) i \(CF\) przecinają się w punkcie \(G.\) Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(ABG\) przechodzi przez środek odcinka \(DE.\)
Zadanie 918 zaproponował pan Michał Adamaszek z Kopenhagi.
Rozwiązania zadań z numeru 11/2025
Przypominamy treść zadań:
909. Trójkąt prostokątny \(ABC\) ma boki \({AB=5a},\) \({BC=4a},\) \({CA=3a}\) (\({a={}}\) jednostka długości). Na boku \(BC\) leżą punkty \(D,\) \(E\) takie, że okręgi o średnicach \(CD\) i \(DE\) są styczne do boku \(AB\) odpowiednio w punktach \(P\) i \(Q.\) Przez dowolnie wybrany punkt \(X\) na odcinku \(AP\) prowadzimy prostą (różną od \(AP\)) styczną do okręgu \(CPD.\) Równoległa do niej prosta styczna do okręgu \(DQE\) przecina półprostą \(QB^\to\) w punkcie \(Y.\) Wyznaczyć minimalną długość odcinka \(XY,\) gdy punkt \(X\) zmienia swoje położenie na odcinku \(AP.\)
910. Rozważamy graf skierowany o nieskończenie wielu wierzchołkach ponumerowanych wszystkimi liczbami całkowitymi nieujemnymi. Krawędź zorientowana od wierzchołka \(\ell\) do wierzchołka \(m\) prowadzi wtedy i tylko wtedy, gdy \({0<m-\ell\le3}\) oraz dokładnie jedna z liczb \(m{-}\ell,\) \(m\ell\) jest podzielna przez 3. Dla każdej liczby naturalnej \(n\) obliczyć, ile jest ścieżek prowadzących od wierzchołka 0 do wierzchołka \(3n.\)
909. Oznaczmy środki okręgów \(CPD,\) \(DQE\) odpowiednio przez \(I,\) \(J.\) Kąt \(BCA\) jest prosty, zatem okrąg \(CPD\) jest styczny do prostej \(AC,\) skąd wniosek, że \({AP=AC=3a},\) \({BP=2a}.\) Z podobieństwa \({\triangle{BIP}\sim\triangle{BAC}}\) wynikają proporcje \({\frac{IP}{BP}=\frac{AC}{BC}=\frac34},\) wobec czego \({IP=\frac32{a}}.\) To promień okręgu \(CPD\); tę samą długość mają promienie \(IC,\) \(ID,\) skąd \({CD=3a}\) i \({BD=a}.\)
Równoramienne trójkąty \(CIP,\) \(DJQ,\) o równoległych bokach \(IP,\) \(JQ,\) też są podobne. Zatem \({CP\Vert{DQ}}\) i na mocy twierdzenia Talesa \({\frac{BQ}{BP}=\frac{BD}{BC}=\frac{JQ}{IP}=\frac14}.\) Uzyskujemy równości \({PQ=\frac32{a}}\) oraz \({JQ=\frac38{a}}.\)
Półproste \(XI^\to\) i \(YJ^\to\) to dwusieczne kątów (ostrego i rozwartego), jakie tworzy prosta \(AB\) z kierunkiem dwóch prostych równoległych (stycznych do danych okręgów, zgodnie z treścią zadania). Zatem \({XI\perp{YJ}}\) i dlatego \({\triangle{IPX}\sim\triangle{YQJ}}\) (trójkąty o bokach odpowiednio prostopadłych). Stąd \({\frac{PX}{QJ}=\frac{IP}{YQ}},\) czyli \({PX\cdot{QY}=IP\cdot{QJ}=\frac32{a}\cdot\frac38{a}}.\) W takim razie \[PX+QY\ge2\sqrt{PX\cdot{QY}}=\textstyle\frac32{a}\] (średnia arytmetyczna i geometryczna) i ostatecznie (skoro \({PQ=\frac32{a}}\)): \[XY=XP+PQ+QY\ge3a.\] Równość jest osiągana, gdy \({PX=QY=\frac34{a}},\) czyli gdy \({tg\angle{IXP}=2}.\) Tak więc \(3a\) to szukane minimum.
910. Oznaczmy przez \(x_n,\) \(y_n,\) \(z_n\) (dla \({n\ge1}\)) liczbę ścieżek (odpowiednio) od wierzchołka 0 do wierzchołka z etykietą \(3n{-}2,\) \(3n{-}1,\) \(3n\); zadanie pyta o wartość \(z_n.\) Do każdego z wierzchołków 1 i 2 wchodzi jedna krawędź od punktu 0, więc \({x_1=y_1=1}.\) Ogólnie, z warunków zadania wynika (dla \({n\ge2}\)), że do punktu \(3n{-}2\) wchodzą krawędzie z punktów \(3n{-}5\) i \(3n{-}3,\) zaś do punktu \(3n{-}1\) wchodzą krawędzie z punktów \(3n{-}4\) i \(3n{-}3\); natomiast (dla \({n\ge1}\)) do punktu \(3n\) wchodzą krawędzie z punktów \(3n{-}2\) i \(3n{-}1.\) \[\renewcommand{\arraystretch}{0.6} \begin{array}{ccccccccccccccccccc} {} & & 1 & & \to & & 4 & & \to & & 7 & & \to & & & & & \to & {} \\ {} & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & & \searrow & & \nearrow \\ 0 & & & & 3 & & & & 6 & & & & 9 & & \cdots & \cdots & & 3n & {} \\ {} & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & & \nearrow & & \searrow \\ {} & & 2 & & \to & & 5 & & \to & & 8 & & \to & & & & & \to & {} \\ \end{array}\] To daje zależności rekurencyjne \[\begin{aligned} & x_n=x_{n-1}+z_{n-1},\;\; y_n=y_{n-1}+z_{n-1}\;(\hbox{dla}\;n\ge2); \\ & z_n=x_n+y_n\;(\hbox{dla}\;n\ge1). \end{aligned}\] W ostatnim z tych wzorów możemy cofnąć numerek i uzyskaną równość \({z_{n-1}=x_{n-1}+y_{n-1}}\) (dla \({n\ge2}\)) wstawić do dwóch poprzednich wzorów, otrzymując: \[x_n=2x_{n-1}+y_{n-1},\;\; y_n=x_{n-1}+2y_{n-1}\;\;(\hbox{dla}\;n\ge2).\] Przez oczywistą indukcję (z bazą \({x_1=y_1=1}\)): \({x_n=y_n=3x_{n-1}=3^{n-1}}.\) Stąd odpowiedź na postawione pytanie: \({z_n=x_n+y_n=2\cdot3^{n-1}}.\)
Zadania z fizyki nr 814, 815
Termin nadsyłania rozwiązań: 31 V 2026
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
814. Dno naczynia nachylone jest pod kątem \(\alpha=45^{\circ}\) do poziomu. W dnie znajduje się półsferyczna wypukłość o promieniu \(R\) (rys. 1). Wysokość słupa cieczy nad wypukłością wynosi \(H.\) Jaką siłą działa ciecz w kierunku pionowym na wypukłą część dna? Gęstość cieczy jest równa \(\rho.\)
Rys. 1
Rys. 2
Rys. 3
Rys. 4
815. Należy przeprowadzić gaz doskonały ze stanu 1 o temperaturze \(T_{1}\) do stanu 2 o temperaturze \(T_{2}>T_{1}\) w taki sposób, aby temperatura w ciągu całego procesu odwracalnego \(1\to2\) nie malała, a gaz nie oddawał ciepła. Minimalna ilość ciepła, jaką może pobrać gaz w opisanym procesie, wynosi \(Q_{1}.\) Jaka może być maksymalna ilość tego ciepła?
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
800 (\(WT=2{,}55\)), 801 (\(WT=2{,}25\)) z numeru 6/2024
Jacek Konieczny Poznań 41,41 Jan Zambrzycki Białystok 4–39,00 Ryszard Woźniak Kraków 34,00 Andrzej Nowogrodzki Chocianów 3–32,28 Paweł Perkowski Ożarów Maz. 6–29,93 Krzysztof Zygan Lubin 26,89 Tomasz Wietecha Tarnów 18–21,64 Paweł Kubit Kraków 20,30 Marian Łupieżowiec Gliwice 3–14,49 Krzysztof Magiera Łosiów 4–13,42 Zbigniew Galias Kraków 1–12,77 Lista obejmuje uczestników ligi, których stan konta wynosi przynajmniej 10 punktów i którzy przysłali rozwiązanie co najmniej jednego zadania z rocznika 2023, 2024 lub 2025.
Rozwiązania zadań z numeru 11/2025
Przypominamy treść zadań:
806. Hantla składa się z dwóch jednakowych małych kulek o masach \(m\), zaczepionych na końcach lekkiego pręta i jest zawieszona w położeniu poziomym na dwóch nierozciągliwych niciach o długości \(l\), oddalonych od siebie o \(2a\) (rys. 2). Odległość między kulkami wynosi \(2b\). Znaleźć okres małych drgań skrętnych tej hantli.
807. W obwodzie przedstawionym na rysunku 3 klucz \(K_{3}\) jest na początku zamknięty, a klucze \(K_{1}\) i \(K_{2}\) otwarte. W pewnej chwili zamknięto klucz \(K_{1}\), a po czasie \(t_{1} = 0{,}1\) s zamknięto klucz \(K_{2}\). Po kolejnym czasie \(t_{2} = 0{,}2\) s otwarto klucz \(K_{3}\). Znaleźć: 1) natężenie prądu przez cewkę \(L_{1}\) po długim czasie od zamknięciu klucza \(K_{1}\); 2) maksymalne napięcie na kondensatorze. Opory omowe zaniedbujemy, dioda jest idealna. Przyjmujemy \(L_{1} = 1\) H, \(L_{2} = 0{,}5\) H, \(C = 10\) μF, \({U}_{0} = 10\) V.
806. Podczas drgań skrętnych hantla obraca się wokół osi \(o\). Kąt obrotu oznaczmy przez \(\varphi\) (rys. 4). Podczas obrotu środek ciężkości hantli podnosi się o \(h\) względem położenia równowagi. Z rysunku 4: \({\Delta h = l - h}\), gdzie \({h = \sqrt{l^{2} - | BB_{1} |^{2}}}\). \(\left| BB_{1} \right| = a\varphi\), ponieważ kąt \(\varphi\) jest mały, więc \({l^{2} - h^{2} = a^{2}\varphi^{2} \Rightarrow a^{2}\varphi^{2} = {\Delta}h(l + h)}\), \({\Delta h = a^{2}\varphi^{2}/(l + h) \cong a^{2}\varphi^{2}/2l}\). Energia potencjalna hantli (mierzona od położenia równowagi) zależy od kąta obrotu zgodnie z wzorem: \[E_{p}(\varphi) = 2mg{\Delta}h = mga^{2}\varphi^{2}/l.\] Przy małych drganiach możemy zaniedbać składowe pionowe prędkości kulek i przyjąć, że wektory prędkości leżą w płaszczyźnie poziomej i mają jednakowe wartości: \({v = b\omega(\varphi) = bd\varphi/dt},\) gdzie \(\omega(\varphi)\) to prędkość kątowa obrotu kulki. Energia kinetyczna hantli zależy od kąta obrotu zgodnie z wzorem: \[E_{k}(\varphi) = 2mv^{2}/2 = mb^{2}\left( d\varphi/dt \right)^{2}.\] Wzory (1) i (2) są analogiczne do wzorów opisujących energię potencjalną i kinetyczną ciężarka o masie \(M\), drgającego na sprężynie o współczynniku sprężystości \(k\): \({E_{p}(x) = kx^{2}/2}\), \(E_{k}(x) = M\left( dx/dt \right)^{2}/2,\) gdzie \(x\) jest wychyleniem ciężarka z położenia równowagi. Korzystając z tej analogii, możemy zapisać wzory (1) , (2) w postaci: \({E_{p}(x) = mga^{2}x^{2}/lb^{2}},\) gdzie \(x = b\varphi\), stąd \(k = 2mga/lb^{2}\). \(E_{k}(x) = m\left( dx/dt \right)^{2}\), gdzie \(M = 2m.\) Okres małych drgań skrętnych hantli wynosi: \(T = % 2\pi \sqrt{\tfrac{M}{k}}=\tfrac{2\pi b}{a}\sqrt{\tfrac{l}{g}}\).
807. Po zamknięciu klucza \(K_{1}\) w cewce \(L_{1}\) zaczyna płynąć prąd, który rośnie liniowo z czasem: \(L_{1}dI_{1}/dt = U_{0}\), \(I_{1} = U_{0}t/L_{1}\). Podobnie jest w cewce \(L_{2}\) po zamknięciu klucza \(K_{2}\). W chwili otwarcia klucza \(K_{3}\) (rys. 5) \({I_{1} = U_{0}\left( t_{1} + t_{2} \right)/L_{1} = 3}\) A, \({I_{2} = U_{0}t_{2}/L_{2} = 4}\) A. Gdy ładunek kondensatora osiągnie wartość maksymalną (która pozostanie stała, ze względu na diodę) przez obie cewki będzie płynął taki sam prąd \(I\) (rys. 6). Napięcie bateryjek kompensuje się, nie ma oporów omowych, dlatego strumień pola magnetycznego w obwodzie nie zmienia się: \({L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = L_{1}I + L_{2}I}\), stąd szukane natężenie prądu płynącego przez cewkę \(L_{1}\) wynosi \({I = \left( L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} \right)/\left( L_{1} + L_{2} \right) = 2/3}\) A. Od chwili zamknięcia klucza do ustalenia się maksymalnego ładunku na kondensatorze bateryjki wykonały pracę \({W = q_{\max}U_{0}}\). Z zasady zachowania energii: \({L_{1}{I_{1}}^{2}/2 + L_{2}{I_{2}}^{2}/2 + W = \left( L_{1} + L_{2} \right)I^{2}/2 + {q_{\max}}^{2}/2C}\), stąd \(q_{\max} \cong 1{,}3 \cdot 10^{- 2}\) C. Maksymalne napięcie na kondensatorze wynosi \({U_{\max} = q_{\max}/C = 1300\,\rm V}.\)
Rys. 5
Rys. 6