Uczeń, I LO im. Bolesława Chrobrego w Piotrkowie Trybunalskim.
Autor otrzymał brązowy medal i złoty medal na, odpowiednio, 46. i 47. edycji Konkursu Uczniowskich Prac z Matematyki im. Pawła Domańskiego
Hiperbolę, której asymptoty przecinają się pod kątem prostym, nazywamy hiperbolą prostokątną. Przykładem jest wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla niezerowych liczb rzeczywistych \(x,\) który to wykres jest dla wielu pierwszą hiperbolą, z jaką stykają się w życiu. W niniejszym artykule pokażę, jak, korzystając z własności hiperboli prostokątnych, rozwiązać poniższe zadanie:
Zadanie (Tajwan TST 2022). Dany jest ostrokątny trójkąt \(ABC\) o ortocentrum \(H\) oraz okręgu opisanym \(\Omega.\) Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC.\) Na krótszym łuku \(BC\) okręgu \(\Omega\) wybieramy taki punkt \(D,\) że \(\angle BAD = \angle MAC.\) Niech \(E\) będzie takim punktem na \(\Omega,\) że \(DE \perp AM,\) zaś \(F\) rzutem prostokątnym punktu \(D\) na prostą \(BC.\) Proste \(HF\) i \(AM\) przecinają się w \(N,\) a \(R\) jest odbiciem \(H\) względem \(N.\) Udowodnij, że \(\angle AER = \angle HFD.\)
Rozpoczniemy od
przedstawienia kilku własności hiperboli prostokątnych.
Ich uzasadnienie można znaleźć w mojej pracy Dowód
i zastosowania własności hiperboli prostokątnych, nadesłanej na 46. Konkurs Uczniowskich Prac
z Matematyki im. Pawła Domańskiego, dostępnej na stronie deltami.edu.pl.
Twierdzenie 1. Hiperbola \(\mathcal{H}\) opisana na trójkącie \(ABC\) (tzn. przechodząca przez wierzchołki trójkąta) jest prostokątna wtedy i tylko wtedy, gdy przechodzi przez ortocentrum \(H\) trójkąta \(ABC.\) Powyższe twierdzenie stanowi podstawową charakterystykę hiperboli prostokątnych.
Ważna będzie też koncepcja izogonalnego sprzężenia w trójkącie.
Definicja. Dany jest trójkąt \(ABC\) oraz punkt \(P\) leżący poza prostymi zawierającymi boki trójkąta. Wówczas punkt \(Q\) spełniający równości \({\angle ABP=\angle CBQ},\) \({\angle BCP=\angle ACQ}\) i \({\angle CAP=\angle BAQ}\) nosi nazwę izogonalnego sprzężenia punktu \(P\) względem trójkąta \(ABC.\)
Istnienie punktu spełniającego opisane w definicji równości nie jest zupełnie oczywiste. Można tego dowieść np. za pomocą trygonometrycznego twierdzenia Cévy. Więcej informacji o izogonalnym sprzężeniu można odnaleźć w Kąciku Początkującego Olimpijczyka z \(\Delta^2_{26}\).
W ramach ćwiczenia polecamy Czytelnikowi sprawdzić, że w dowolnym trójkącie środek okręgu na nim opisanego oraz jego ortocentrum są izogonalnie sprzężone.
Okazuje się, że prawdziwy jest następujący fakt.
Fakt 1. Dany jest trójkąt \(ABC\) oraz prosta różna od prostych zawierających boki trójkąta. Dla każdego punktu na prostej bierzemy jego izogonalne sprzężenie względem \(ABC.\) Tak otrzymane punkty utworzą krzywą stożkową, opisaną na trójkącie \(ABC.\)
Ponieważ izogonalne sprzężenie jest inwolucją – jego dwukrotne zastosowanie jest identycznością – to nietrudno uzasadnić, że to samo będzie prawdą w drugą stronę: izogonalnym sprzężeniem względem trójkąta \(ABC\) opisanej na nim krzywej stożkowej będzie prosta.
W takim przekształceniu izogonalne sprzężenie hiperboli prostokątnej opisanej na \(ABC\) będzie prostą przechodzącą przez środek okręgu opisanego na \(ABC.\) Idea rozważania izogonalnego sprzężenia hiperboli prostokątnej będzie nam bardzo pomocna. Warto tu zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię z tym związaną.
Fakt 2. Sprzężenie punktu na okręgu opisanym na \(ABC\) jest w nieskończoności i vice versa.
Czytelnik niezaznajomiony z geometrią rzutową może nie wiedzieć, czym jest punkt w nieskończoności. W geometrii rzutowej przyjmujemy, że każda prosta ma (jeden) punkt w nieskończoności. Jeśli dwie proste są równoległe, to uznajemy, że mają ten sam punkt w nieskończoności, i mówimy, że się w nim przecinają.
Dowód tego faktu pozostawiam Czytelnikowi jako ćwiczenie na przenoszenie kątów.
Teraz weźmy trójkąt \(ABC\) i prostą \(l\) przechodzącą przez środek okręgu opisanego na \(ABC.\) Niech \(l\) przecina okrąg opisany w punktach \(P\) i \(Q.\) Wiemy już, że sprzężeniem \(l\) względem \(ABC\) będzie hiperbola prostokątna. Z faktu \(2\) wiemy również, że sprzężenia \(P\) i \(Q\) leżą w nieskończoności. Znaczy to, że punkty \(P\) i \(Q\) po izogonalnym sprzężeniu przechodzą na punkty w nieskończoności hiperboli będącej obrazem \(l.\)
Zbliżamy się do przedstawienia fundamentalnego twierdzenia hiperboli prostokątnych, ale przed jego sformułowaniem warto wprowadzić następujący lemat. Tu i dalej przez środek hiperboli rozumieć będziemy punkt przecięcia jej asymptot.
Lemat 1. Hiperbola prostokątna \(\mathcal{H},\) opisana na trójkącie \(ABC\) o ortocentrum \(H,\) przecina okrąg opisany na \(ABC\) po raz czwarty w punkcie \(D.\) Wtedy środek odcinka \(HD\) jest środkiem \(\mathcal{H}.\)
W dalszych rozważaniach będą nam potrzebne jeszcze dwie definicje. Ustalmy trójkąt \(ABC.\) Dla dowolnego punktu \(P\) jego okręgiem ortycznym względem \(ABC\) będzie okrąg przechodzący przez rzuty punktu \(P\) na proste \(AB,\) \(BC,\) \(CA.\) Okazuje się, że okręgi ortyczne punktu \(P\) oraz jego izogonalnego sprzężenia względem trójkąta \(ABC\) pokrywają się (por. zadanie 1 w Kąciku Początkującego Olimpijczyka z \(\Delta^2_{26}\)). Gdy punkt \(P\) leży na okręgu opisanym na \(ABC,\) jego okrąg ortyczny stanie się prostą – nazywamy ją wtedy prostą Simsona.
Twierdzenie 2 (fundamentalne twierdzenie hiperboli prostokątnych). Niech \(\mathcal{H}\) będzie hiperbolą prostokątną opisaną na \(ABC.\) Niech \(P \in \mathcal{H}.\) Wtedy środek \(\mathcal{H}\) leży na okręgu ortycznym punktu \(P\) względem \(ABC.\)
Wniosek. Teza powyższego twierdzenia pozostaje prawdziwa, jeśli punkt \(P\) znajduje się na prostej izogonalnie sprzężonej do hiperboli \(\mathcal{H}\) w trójkącie \(ABC.\)
Warto opisać, w jaki sposób z twierdzenia 2 wprost wynika lemat 1. Aplikując twierdzenie 2 do ortocentrum \(H\) trójkąta \(ABC,\) dostajemy, że środek \(\mathcal{H}\) leży na tzw. okręgu dziewięciu punktów. Jedną z własności tego okręgu jest fakt, że jednokładność o skali 2 i środku \(H\) przekształca go na okrąg opisany. Dostajemy stąd, że odbicie \(H\) względem środka \(\mathcal{H}\) – oznaczmy je jako punkt \(D\) – leży na okręgu opisanym na \(ABC.\) Ponieważ \(\mathcal{H}\) jest symetryczna względem swojego środka, \(D\) należy do \(\mathcal{H},\) więc \(D\) to ten sam punkt co w lemacie 1. Lemat 1 został wyszczególniony jako osobny wynik przed twierdzeniem 2, gdyż istnieje jego niezależny dowód i zwykle korzysta się z niego, dowodząc twierdzenie.
Od tego momentu resztę faktów będziemy wnioskować z twierdzeń już do tej pory podanych.
Lemat 2. Niech \(D\) będzie punktem na okręgu opisanym na trójkącie \(ABC\) o ortocentrum \(H.\) Wtedy prosta Simsona punktu \(D\) połowi odcinek \(HD\) oraz jest prostopadła do sprzężenia izogonalnego prostej \(AD\) w \(\angle A.\)
Dowód. Prostopadłość wynika z krótkiego przeliczenia kątów. Istotnie, niech \(P\) i \(Q\) będą rzutami punktu \(D\) na proste \(AB\) i \(AC\) i niech \(X\) będzie przecięciem prostej \(PQ\) i prostej izogonalnej do \(AD\) w \(\angle A.\) Na czworokącie \(APDQ\) można opisać okrąg (ma dwa przeciwległe kąty proste), zatem \(\angle ADP=\angle AQX.\) Trójkąty \(APD\) i \(AXQ\) są zatem podobne, i w tej sytuacji \({\angle AXQ=\angle APD=90^\circ}.\) Do dowodu pierwszego faktu możemy posłużyć się poznanymi już własnościami hiperboli prostokątnych. Z twierdzenia 1 hiperbola \(ABCHD\) jest prostokątna, natomiast jej środkiem, z lematu 1, jest środek \(HD.\) Teraz z twierdzenia 2 ów środek musi leżeć na okręgu ortycznym punktu \(D,\) czyli na prostej Simsona. \(\square\)
Kolejne twierdzenie będzie grało kluczową rolę w naszym zadaniu.
Twierdzenie 3. Dana jest hiperbola prostokątna \(\mathcal{H}\) opisana na trójkącie \(ABC.\) Niech sprzężenie izogonalne \(\mathcal{H}\) przecina okrąg opisany na \(ABC\) w punktach \(P\) i \(Q.\) Wtedy proste Simsona punktów \(P\) i \(Q\) względem \(ABC\) są asymptotami \(\mathcal{H}.\)
Dowód. Z lematu 2 wynika, że prosta Simsona punktu \(P\) jest prostopadła do sprzężenia prostej \(AP\) w \(\angle A,\) które to, z faktu 2, jest równoległe do jednej z asymptot (bo przechodzą przez ten sam punkt w nieskończoności \(\mathcal{H}\)). Skoro w hiperboli prostokątnej asymptoty są wzajemnie prostopadłe, to prosta Simsona \(P\) musi być równoległa do drugiej asymptoty. Z wniosku z twierdzenia 2 wynika, że prosta Simsona \(P\) przechodzi przez środek \(\mathcal{H},\) a więc musi być asymptotą. Powtarzamy to samo dla punktu \(Q.\) \(\square\)
Uzbrojeni w odpowiednie narzędzia możemy zaatakować zadanie. Dla wygody przypominamy jego treść:
Dany jest ostrokątny trójkąt \(ABC\) o ortocentrum \(H\) oraz okręgu opisanym \(\Omega.\) Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC.\) Na krótszym łuku \(BC\) okręgu \(\Omega\) wybieramy taki punkt \(D,\) że \(\angle BAD = \angle MAC.\) Niech \(E\) będzie takim punktem na \(\Omega,\) że \(DE \perp AM,\) zaś \(F\) rzutem prostokątnym punktu \(D\) na prostą \(BC.\) Proste \(HF\) i \(AM\) przecinają się w \(N,\) a \(R\) jest odbiciem \(H\) względem \(N.\) Udowodnij, że \(\angle AER = \angle HFD.\)
Rozwiązanie zadania. Niech \(O\) będzie środkiem \(\Omega.\) Niech \(E'\) będzie przecięciem hiperboli prostokątnej \(\mathcal{H}\) z \(\Omega,\) która jest izogonalnym sprzężeniem prostej \(OD\) w \(ABC.\)
Kolejny krok to przekształcenie tezy, poprzez przeliczenie kątów. Będziemy chcieli pozbyć się punktów \(N\) i \(R.\) Zauważmy najpierw, że skoro \(AM\perp KF\) oraz \(MB\perp FD,\) to \(\angle AMB=\angle KFD.\)
W tej sytuacji \[\begin{aligned} \angle AER - \angle DER & = \angle DEA = \angle DCA \\& = 180^{\circ} - \angle DAC - \angle ADC \\& = 180^{\circ} - \angle BAM- \angle ABC = \angle BMA\\& = \angle KFD =\angle HFD - \angle HFK, \end{aligned}\] więc teza jest równoważna udowodnieniu \({\angle DER = \angle HFK},\) co z równoległości \(SN \parallel ER\) (linia środkowa) i \(SK \parallel ED\) daje, że wystarczy udowodnić równoramienność trójkąta \(FSN.\) To zaś jest równoważne stwierdzeniu, że \(F\) i \(S\) są swoim odbiciem względem \(AM.\)
Mam nadzieję, że przedstawione własności hiperboli prostokątnych, jak również rozwiązane za ich pomocą zadanie, zachęcą Czytelników do dokładniejszego zapoznania się z tym bardzo eleganckim i pożytecznym obiektem geometrycznym.