Afiliacja: Politechnika Śląska
Powaga dnia 1 kwietnia skłania do zadawania niemal egzystencjalnych pytań, jak chociażby następujące:
Czy każdy szanujący się ciąg liczbowy powinien mieć co najmniej dwa elementy?
Powyższe pytanie jest w równym stopniu bezsensowne, jak i żartobliwe, choć istnienie jednoelementowych ciągów to nie żart! Przyjrzymy się sekwencjom, które takie właśnie (nie) są.
Na potrzeby niniejszego tekstu ciąg jednoelementowy definiujemy jako ciąg, który w encyklopedii ciągów całkowitoliczbowych OEIS ma obecnie zapisany dokładnie jeden element. Zwyczajowo do tej bazy danych można zgłosić nowy ciąg, jeżeli ma on co najmniej cztery elementy. Drugim wymogiem jest jednak to, że wszystkie wpisane elementy (razem z przecinkami) mają zajmować nie więcej niż 260 znaków – z tego powodu do bazy trafiły następujące pozornie jednoelementowe sekwencje:
Oczywiście można zgłaszać dużo więcej elementów, ale są one przechowywane w osobnych plikach.
A115453: Liczby pierwsze w prefiksie rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\sqrt2.\)
Łatwo sprawdzić, że \(14,\) \(141,\) \(1414\) i kilka kolejnych prefiksów po przecinku liczby \(\sqrt2\) to liczby złożone. Najmniejszą liczbą pierwszą, którą możemy tam znaleźć, jest prefiks długości \(97\): \[1\,414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,209\,698\,078\,569\,671\,875\,376\,948\,073,\] stanowiący jedyny wpis rozpatrywanego ciągu. Znane są jeszcze trzy elementy tej sekwencji – mające, odpowiednio, \(225,\) \(11\,260\) i \(11\,540\) cyfr, więc dopisanie już drugiej liczby spowodowałoby przekroczenie limitu znaków.
A118329: Liczby pierwsze w prefiksie rozwinięcia dziesiętnego stałej Catalana.
Ciąg bardzo podobny do poprzedniego, ale bazujący na mniej popularnej liczbie: stała Catalana to
\[G=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}=0{,}915965\,\ldots\]
Problem otwarty: czy stała Catalana jest liczbą niewymierną?
Celowo pomijamy w tym tekście wątek liczb Riesela A076337, gdyż zasługuje on na osobne opracowanie – i być może kiedyś się go w Kącie otwartym doczeka!
Pierwsza liczba pierwsza w prefiksie, \[9\,159\,655\,941\,772\,190\,150\,546\,035\,149\,323\,841\,107\,741\,493\,742\,816\,721,\] ma \(52\) cyfry, a druga ma już 276 cyfr, co ponownie sprawia, że ciąg widnieje jako pozornie jednoelementowy.
Trochę inna sytuacja jest z ciągiem A072288, zawierającym
najmniejsze dzielniki pierwsze liczby \(\big(10^{10^{100}}+n\big)\) nie mniejsze niż \(14.\)
Rozkład na czynniki pierwsze googolplexa (piętrowca występującego w powyższej liczbie) nie jest trudny. Lecz gdy zaczniemy do niego dodawać kolejne liczby, to zagadnienie się mocno komplikuje. Wiemy, że po dodaniu do niego 1 otrzymamy liczbę, której najmniejszym czynnikiem pierwszym jest \[316\,912\,650\,057\,057\,350\,374\,175\,801\,344\,000\,001,\] czyli jedyny wyróżniony w OEIS element rozpatrywanego ciągu. Jedyny, gdyż choć znane są niektóre inne wyrazy ciągu (np. trzeci jest równy 1429, zaś czwarty 1129), to drugi pozostaje tajemnicą (wiadomo tylko, że musi być większy od \(10^{14}\)).
Dla Czytelnika niepocieszonego faktem, że artykuł traktuje o ciągach, które tak naprawdę mają więcej niż jeden element, przygotowaliśmy aż dwa (!) ciągi, które być może są jednoelementowe!
A058445: Liczby \(n\) takie, że liczba \(n^2\) jest niepodzielna przez \(10\) i w jej zapisie dziesiętnym występują jedynie cyfry \(0,\) \(5\) i \(6.\)
Najmniejszym (i zarazem jedynym znanym) elementem tego ciągu jest \[2\,236\,081\,408\,416\,666.\] Obecnie wiadomo, że jeżeli istnieje drugi element tego ciągu, to jest on większy od liczby \(2\cdot10^{19}.\)
A058446: Kwadraty niepodzielne przez \(10,\) w których zapisie dziesiętnym występują jedynie cyfry \(0,\) \(5\) i \(6.\)
Ten ciąg jak dotąd sprawdzono aż do liczby \(4\cdot10^{38}\) i znaleziono tylko jeden element: \[5\,000\,060\,065\,066\,660\,656\,065\,066\,555\,556.\]
Bardzo bym się zdziwił, gdyby się okazało, że te dwa ciągi faktycznie są jednoelementowe. A jeszcze bardziej bym się zdziwił, gdyby jeden z nich okazał się jednoelementowy, a drugi nie!