Kontakt:
gornicki59@gmail.com
Andriej A. Markow studiował matematykę na Uniwersytecie Petersburskim. Tam też w wieku 23 lat obronił pracę magisterską (1880), a potem pracę doktorską (1884). Obie prace dotyczyły teorii liczb. Treść pierwszej z nich ukazała się w dwóch częściach w języku francuskim w prestiżowym czasopiśmie Mathematische Annalen (tom XV (1879), tom XVII (1880)).
Odpowiednikiem magisterium (doktoratu) w carskiej Rosji był doktorat (habilitacja) na zachodzie Europy (np. w Cesarstwie Niemieckim).
Szkolna matematyka wystarczy, aby pokazać, że pochodzące z tej pracy równanie diofantyczne Markowa, \[\label{eq:markov} m^2+n^2+k^2=3mnk, \tag{$\ast$}\] ma w liczbach naturalnych nieskończenie wiele rozwiązań \((m,n,k)\) o wyjątkowo ciekawej strukturze.
Andriej A. Markow (1856–1922) był matematykiem rosyjskim. Z powodzeniem pracował w teorii liczb (ułamki łańcuchowe, aproksymacja liczb), analizie matematycznej (równania różniczkowe i całkowe), a po 1900 roku głównie w teorii prawdopodobieństwa. Szczególnie interesował się procesami stochastycznymi, wprowadził pojęcie łańcuchów Markowa. Ilustracja powyżej przedstawia Andrieja A. Markowa, gdy miał około 30 lat
Rozpocznijmy od prostej obserwacji. Z symetrii równania \(\eqref{eq:markov}\) wynika, że jeśli trójka liczb naturalnych \((m,n,k)\) jest jego rozwiązaniem, to jest nim również każda inna permutacja współrzędnych tego rozwiązania. Zatem, bez straty ogólności, zbiór sześciu rozwiązań równania \(\eqref{eq:markov}\) otrzymanych przez permutację jego współrzędnych będziemy uważać za jedno rozwiązanie.
Załóżmy, że dane mamy rozwiązanie \((m,n,k)\) równania \(\eqref{eq:markov}\). Rozważmy równanie kwadratowe \[\Phi_m(x)= x^2+n^2+k^2-3nkx=x^2-3nkx+(n^2+k^2)=0.\] Powyższe równanie ma pierwiastek \(m\) oraz drugi pierwiastek \(m'\) spełniający wzory Viète’a: \[m+m'=3nk \hbox{~~i~~} m\cdot m'=n^2+k^2.\] Oczywiście \(m'=3nk-m\) jest liczbą naturalną i trójka liczb \((m',n,k)\) jest również rozwiązaniem równania \(\eqref{eq:markov}\). Rozpatrując analogiczne równania kwadratowe dla pozostałych współrzędnych: \[\begin{aligned} \Phi_n(x)={} & m^2+x^2+k^2-3mkx=x^2-3mkx+(m^2+k^2)=0, \\ \Phi_k(x)={} & m^2+n^2+x^2-3mnx=x^2-3mnx+(m^2+n^2)=0, \end{aligned}\] korzystając ze wzorów Viète’a, znajdujemy kolejne rozwiązania. Reasumując, każde rozwiązanie \((m,n,k)\) generuje co najwyżej trzy rozwiązania sąsiednie postaci \[\label{eq:formulas} (3nk-m,n,k),~(m,3mk-n,k),~(m,n,3mn-k).\tag{$\ast\ast$}\] W liczbach naturalnych równanie \(\eqref{eq:markov}\) ma oczywiste rozwiązanie \((1,1,1).\) Zgodnie ze wzorami \(\eqref{eq:formulas}\) rozwiązanie \((1,1,1)\) ma jedno rozwiązanie sąsiednie \((2,1,1).\) Rozwiązanie \((2,1,1)\) ma dwa rozwiązania sąsiednie: \((1,1,1)\) oraz jedno nowe \((5,2,1).\) Rozwiązanie \((5,2,1)\) ma trzy rozwiązania sąsiednie: \((2,1,1)\) i dwa nowe \((13,5,1)\) i \((29,5,2)\) itd. Uważne spojrzenie na otrzymane wyniki sugeruje dwa lematy.
Lemat 1. Rozwiązanie \((m,n,k)\) równania \(\eqref{eq:markov}\) ma równe dwie współrzędne wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci \((1,1,1)\) lub \((2,1,1).\)
Dowód: Załóżmy na przykład, że \(n=k.\) Wtedy \(m^2+2n^2=3mn^2,\) więc \({m^2=n^2(3m-2)}.\) Oznacza to, że \(n^2\) dzieli \(m^2,\) zatem \(n\) dzieli \(m.\) Istnieje więc liczba naturalna \(d\) taka, że \(m=nd.\) Wtedy (z pierwszej równości) \(d^2=3nd-2\) i \(2=d(3n-d).\) Oznacza to, że \(d\) dzieli 2, więc \(d=1\) lub \(d=2.\) W obu tych przypadkach, z ostatniej równości, mamy \(n=1.\) Wreszcie \(m=nd\) daje nam \(m=1\) lub \(m=2.\) Jedynymi możliwymi rozwiązaniami \(\eqref{eq:markov}\) o dwóch równych współrzędnych są więc trójki liczb \((1,1,1)\) lub \((2,1,1).\) Implikacja przeciwna jest oczywista. \(\Box\)
Rozwiązania \((1,1,1)\) oraz \((2,1,1)\) równania \(\eqref{eq:markov}\) będziemy nazywać rozwiązaniami osobliwymi. Rozwiązania te mają co najwyżej dwa rozwiązania sąsiednie. Nietrudno sprawdzić, że każde nieosobliwe rozwiązanie \((m,n,k)\) równania \(\eqref{eq:markov}\) generuje trzy rozwiązania sąsiednie dane wzorami \(\eqref{eq:formulas}\).
Lemat 2. Jeśli rozwiązanie \((m,n,k)\) równania \(\eqref{eq:markov}\) nie jest osobliwe, to jedno z jego rozwiązań sąsiednich ma mniejszą współrzędną maksymalną, a dwa pozostałe mają większą współrzędną maksymalną.
Dowód: Załóżmy, że \(m>n>k.\) Pierwiastkami równania \(\Phi_m(x)=0\) są liczby \(m\) oraz \(m'=3nk-m.\) Ponieważ \[\begin{aligned} (n-m)(n-m') & =\Phi_m(n)=2n^2+k^2-3n^2k \\&< 3n^2-3n^2k\leqslant 0, \end{aligned}\] więc liczba \(n\) leży między liczbami \(m\) i \(m',\) zatem \(m>m'.\) Oznacza to, że maksymalna współrzędna rozwiązania \((m',n,k)\) jest mniejsza niż maksymalna współrzędna rozwiązania \((m,n,k).\)
Pierwiastkami wielomianu \(\Phi_n(x)=0\) są liczby \(n\) oraz \(n'=3mk-n.\) Ponieważ \[\begin{aligned} (m-n)(m-n') & =\Phi_n(m)=2m^2+k^2-3m^2k \\&< 3m^2-3m^2k\leqslant 0, \end{aligned}\] więc liczba \(m\) leży między liczbami \(n\) i \(n'.\) Skoro \(m>n,\) to musi być \(n'>m.\) Zatem maksymalna współrzędna rozwiązania \((m,n',k)\) jest większa niż maksymalna współrzędna rozwiązania \((m,n,k).\) Analogicznie maksymalna współrzędna rozwiązania \((m,n,3mn-k)\) jest większa niż maksymalna współrzędna rozwiązania \((m,n,k).\) \(\Box\)
Z wykazanego lematu wynika, że równanie diofantyczne Markowa \(\eqref{eq:markov}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań! Rozwiązania te tworzą niezwykłą strukturę (drzewo). Mówi o tym następujący rezultat.
Twierdzenie (A.A. Markow, 1879). Każde rozwiązanie \((m,n,k)\) równania diofantycznego Markowa \(\eqref{eq:markov}\) jest połączone \((\)łańcuchem rozwiązań sąsiednich\()\) z rozwiązaniem osobliwym \((1,1,1).\) Ponadto współrzędne każdego rozwiązania są liczbami parami względnie pierwszymi.
Dowód: Niech \((m,n,k)\) będzie nieosobliwym rozwiązaniem równania \(\eqref{eq:markov}\). Zgodnie z lematem 2 dla tego rozwiązania istnieje rozwiązanie sąsiednie \((m_1,n_1,k_1)\) o mniejszej współrzędnej maksymalnej. Jeśli to rozwiązanie jest nieosobliwe, to generuje ono rozwiązanie sąsiednie \((m_2,n_2,k_2)\) o jeszcze mniejszej współrzędnej maksymalnej itd. Ponieważ w zbiorze liczb naturalnych nie można utworzyć nieskończonego ciągu malejącego, więc proces ten zakończy się, gdy dotrzemy do pewnego rozwiązania o dwóch równych współrzędnych (lemat 1). Jeśli jest to rozwiązanie \((1,1,1),\) to twierdzenie jest udowodnione, jeśli jest to rozwiązanie \((2,1,1),\) to ma ono rozwiązanie sąsiednie \((1,1,1).\)
Załóżmy, że istnieje rozwiązanie \((m,n,k),\) w którym na przykład liczby \(m\) i \(n\) nie są względnie pierwsze. Istnieje wówczas liczba pierwsza \(p>1,\) która dzieli obie liczby \(m\) i \(n.\) Ze względu na równość \(\eqref{eq:markov}\), \(p\) dzieli \(k.\) Oznacza to, wobec wzorów \(\eqref{eq:formulas}\), że liczba \(p\) jest dzielnikiem wszystkich współrzędnych każdego rozwiązania sąsiedniego. Przechodząc łańcuchem rozwiązań do rozwiązania \((1,1,1),\) otrzymujemy, że \(p\) jest dzielnikiem \(1.\) Sprzeczność. \(\Box\)
Z twierdzenia Markowa wynika, że zaczynając od rozwiązania osobliwego \((1,1,1)\) i przechodząc do kolejnych sąsiednich rozwiązań z większym maksimum współrzędnych, otrzymamy wszystkie rozwiązania równania \(\eqref{eq:markov}\).
Drzewo trójek Markowa, czyli rozwiązań równania \(\eqref{eq:markov}\)
Liczby Markowa można znaleźć w bazie OEIS pod numerem A002559.
Liczby naturalne pojawiające się jako współrzędne rozwiązań równania diofantycznego Markowa \(\eqref{eq:markov}\) nazywamy liczbami Markowa. Ich początkowe wartości są następujące: \[\begin{aligned} \mathcal{M}=\{ & 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597, 2897, \\ & 4181, 5741, 6466, 7561, 9077, 10946, 14701,\dots \}. \end{aligned}\] Z liczbami Markowa związana jest sformułowana w 1913 roku przez Georga Frobeniusa hipoteza jednoznaczności: każda liczba Markowa pojawia się dokładnie raz \((\)z dokładnością do permutacji\()\) jako maksimum w trójce Markowa. Hipoteza ta wciąż pozostaje nierozstrzygnięta.
Można dostrzec, że co druga liczba w ciągu liczb Fibonacciego \[\mathcal{F}=\{0,\textbf{1},1,\textbf{2},3,\textbf{5},8,\textbf{13},21,\textbf{34},55,\textbf{89},144,\textbf{233},377,\textbf{610},\dots \}\] jest liczbą Markowa. Inaczej, trójki rozwiązań występujące na lewym brzegu drzewa Markowa (rysunek) są postaci \((F_{2k+1},F_{2k-1},1),\) \(k=1,2,\ldots\) Również co druga liczba Pella \[\mathcal{P}=\{0, \textbf{1}, 2, \textbf{5}, 12, \textbf{29}, 70, \textbf{169}, 408, \textbf{985}, 2378, \textbf{5741}, 13860,\dots \}\] jest liczbą Markowa, a trójki rozwiązań występujące na prawym brzegu drzewa Markowa (rys. 1) są postaci \((P_{2k+1},P_{2k-1},2),\) \(k=1,2,\ldots\)
Liczby Fibonacciego generuje wzór \(F_0=0,~F_1=1,\) \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) dla \(n\geqslant 2.\)
Liczby Pella generuje wzór \(P_0=0,~P_1=1,\) \(P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}\) dla \(n\geqslant 2.\)
Równanie Markowa \(\eqref{eq:markov}\) jest wyjątkowe! Adolf Hurwitz (1907) wykazał, że równanie diofantyczne \(X^2+Y^2+Z^2=s\cdot XYZ,\) gdzie \(s=1,2,3,\ldots\) ma rozwiązania w liczbach naturalnych tylko dla \(s=1\) lub \(s=3.\) Przy tym wszystkie rozwiązania \((A,B,C)\) równania \(X^2+Y^2+Z^2=XYZ\) otrzymujemy z rozwiązań \((m,n,k)\) równania Markowa \(\eqref{eq:markov}\) za pomocą wzorów \(A=3m,\) \(B=3n,\) \(C=3k.\) Napiszemy o tym więcej w kolejnym numerze Delty.
Liczby (trójki) Markowa to wciąż aktualny temat badawczy. Pojawiają się one nieoczekiwanie w różnych dziedzinach współczesnej matematyki, co pokazuje lektura książki M. Aignera Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture. A Mathematical Journey from Irrational Numbers to Perfect Matchings, Springer Cham (2013).
