Afiliacja: Student, Kolegium MISMaP, Uniwersytet Warszawski
Kiedy w pogodną noc zaczniemy przypatrywać się niebu, zauważymy bez trudu, że gwiazdy (i planety) ewidentnie różnią się jasnością. Również starożytni dostrzegli ten jakościowy fakt. Jednak dopiero w II wieku p.n.e. Hipparch z Nikei stworzył pierwszą znaną klasyfikację gwiazd.
W zachowanym dziele Komentarz do Phenomena Aratosa i Eudoksosa Hipparch nie wprowadza numerowanej skali, używa jedynie greckich przymiotników , takich jak lampros (λαμπρός) – jasny, hypolampros (ὑπολαμπρός) – dość jasny, amydros (ἀμυδρός) – słaby, mikros (μικρός) – blady, do porównania jasności gwiazd.
W II wieku n.e. Klaudiusz Ptolemeusz z Aleksandrii, autor dzieła Almagest (a właściwie Mathematikes Sýntaxeos) wprowadza numerowaną skalę jasności gwiazd, w której podzielił gwiazdy od najjaśniejszych (które nazwał gwiazdami pierwszej wielkości) do świecących najsłabiej (gwiazdy szóstej wielkości). Pojawiający się tu termin „wielkość” – mégetheos (μεγέθους) – w wiekach późniejszych został zlatynizowany do postaci magnitudo, która to nazwa jest używana w astronomii po dziś dzień.
Zauważmy przy okazji, że jaśniejsze obiekty mają mniejszą wartość w skali magnitudo. Jest to jedna z dość nietypowych dla fizyków rzeczy w astronomii.
W 1856 roku Norman Pogson uściślił skalę magnitudo. Nadał jej ścisłą definicję matematyczną i powiązał wizualne jasności gwiazd z fizycznie mierzalną wielkością (w tym przypadku tzw. irradiancją). Takie natężenie w literaturze astronomicznej określa się terminem strumienia (ang. flux), dlatego oznacza się go tradycyjnie jako \(F\) (chociaż fizycy używają również literki \(I\)).
Irradiancja to natężenie promieniowania określające ilość energii przypadającą na jednostkę powierzchni w jednostce czasu. Jednostką irradiancji jest więc [W/m\(^2\)].
Pogson zauważył, że stosunek natężeń światła gwiazd pierwszej i szóstej wielkości gwiazdowej (czyli różniących się o pięć wielkości) jest bliski 100. W swojej normalizacji założył, że wynosi on dokładnie 100, \(\frac{F_1}{F_6} = 100.\) Drugim założeniem poczynionym przez Pogsona było przyjęcie, że stosunek natężeń odpowiadających różnicy jednej wielkości gwiazdowej jest stały, z czego wynika: \[\frac{F_n}{F_{n+1}} = 100^{1/5} \approx 2{,}512,\] a liczbę \(\sqrt[5]{100}\) nazywa się czynnikiem Pogsona. Skala magnitudo jest skalą logarytmiczną, co odpowiada nieliniowej reakcji ludzkiego oka na zmiany natężenia światła. Związek ten można powiązać z prawem Fechnera–Webera, wiążącym wrażenie zmysłowe (tutaj postrzegana jasność m w magitudo) z fizyczną siłą bodźca F, wyrażonym poprzez równanie różniczkowe: \[dm = k \cdot \frac{dF}{F}.\]
W ogólności problem jest nieco bardziej złożony. Skala magnitudo pochodzi od obserwacji gołym okiem, zaś Pogson w swej pracy opierał się na wczesnych pomiarach fotograficznych. Okazuje się, że oko ludzkie ma nieco inną czułość dla poszczególnych długości fal (różne gwiazdy o różnej temperaturze mają maksimum jasności dla różnych długości fal via prawo przesunięć Wiena) aniżeli papier fotograficzny. Z tego powodu w fizyce oświetlenia (choćby w pomiarach jasności lamp) używa się luksów (lumen na metr kwadratowy), czyli irradiancji skorygowanej o czułość ludzkiego oka.
Całkując, otrzymujemy rzeczywiście: \[m = k \cdot \ln\left(\frac{F}{F_0}\right) + C, \tag{1}\] gdzie \(F_0\) jest strumieniem odniesienia (np. strumieniem odpowiadającym zerowej wartości magnitudo), a \(C\) jest stałą całkowania. W praktyce stałą \(C\) i wartość \(F_0\) dobiera się tak, aby skalę magnitudo powiązać z obserwacjami (co będzie dokładniej opisane w dalszej części artykułu).
W podręcznikach astronomii często spotyka się zapis \(\ln F\) dla strumienia, jednak matematycznie operacja logarytmowania wielkości fizycznej z jednostką jest niepoprawna. Prawidłowo należy stosować logarytm ze stosunku wartości do jednostki odniesienia (np. \(\ln(F/F_0)\)), co daje wielkość bezwymiarową.
We wzorze tym mamy stałą proporcjonalności \(k\) oraz stałą kalibracyjną \(C\). Tę pierwszą możemy wyznaczyć, korzystając z różnicy magnitudo dla dwóch źródeł o różnych natężeniach \(F_1\) i \(F_2\). Jeśli rozpatrzymy różnicę jasności źródeł \(m_1\) i \(m_2\), których jasność różni się o pięć magnitudo, to z założenia Pogsona otrzymujemy: \[5 = k \cdot \ln(100) \implies k = \frac{5}{\ln(100)} = \frac{2{,}5}{\ln(10)} \approx 1{,}0857.\] Stałą kalibracyjną \(C\) wyznacza się natomiast tak, żeby dla Wegi (α Lyr) – najjaśniejszej gwiazdy w gwiazdozbiorze Lutni – otrzymać \(m = 0.\) Z pomiarów fotometrycznych wiadomo, że stała \(C\) wynosi około \(-13{,}89.\)
Przyjęcie dla Wegi dokładnie \(m=0\) jest definicją historyczną. Obecnie Wega nie jest już uważana za wzorzec i jej jasność różni się od zera we współczesnych systemach fotometrycznych.
Ponieważ w czasach Pogsona logarytmy dziesiętne były powszechnie używane w astronomii i istniały rozbudowane tablice do ich szybkiego obliczania, to słynny wzór Pogsona można najczęściej spotkać w formie: \[m_1 - m_2 = -2{,}5 \cdot \log_{10} \left( \frac{F_1}{F_2} \right).\] Warto też zauważyć, że występujący tu czynnik \(-2{,}5\) jest wartością dokładną i wynika z własności logarytmu dziesiętnego, a jego bliskość do czynnika Pogsona jest przypadkowa, nie jest on jego przybliżeniem.
Jasności pozorne i bolometryczne
Jasności obserwowane wybranych ciał niebieskich w skali magnitudo (\(m\)). Należy pamiętać, że wartości te zależą od pasma obserwacji oraz od warunków obserwacyjnych. Jasność Księżyca jest podana w peryhelium, a Wenus i Jowisza w ich maksimum jasności.
Obiekt Jasność (\(m\)) Słońce \(-26{,}83\) Księżyc w pełni \(-12{,}60\) Wenus \(-4{,}93\) Jowisz \(-2{,}94\) Syriusz (\(\alpha\) CMa) \(-1{,}47\) Kanopus (\(\alpha\) Car) \(-0{,}7\phantom 0\) Arktur (\(\alpha\) Boo) \(-0{,}04\) Wega (\(\alpha\) Lyr) \(+0{,}03\) Polaris (wartość średnia) \(+1{,}98\)
Jasność obiektu obserwowanego z Ziemi oznacza się \(m\) i nazywa jasnością pozorną. Ponieważ jednak jasność obiektu spada z jego odległością, to jasność pozorna nie odzwierciedla rzeczywistej jasności obiektów (strumienia światła, które one rzeczywiście emitują). Warto zatem zdefiniować pewną szczególną wielkość, zwaną jasnością absolutną, zapisywaną poprzez \(M,\) zdefiniowaną (dla danej gwiazdy) jako jasność pozorną, jaką miałaby dana gwiazda, gdyby była obserwowana z odległości standardowej równej 10 parseków, przy założeniu braku ekstynkcji, czyli osłabienia światła spowodowanego absorbującym i rozpraszającym ośrodkiem (głównie pyłem międzygwiazdowym) pomiędzy gwiazdą a obserwatorem. Dzięki temu pojęciu można porównywać rzeczywistą (fizyczną) jasność gwiazd niezależnie od ich aktualnej odległości od Ziemi.
Czasami – zwłaszcza w przypadku pomiarów precyzyjnych oraz dla obserwatoriów kosmicznych – jasność pozorną definiuje się jako jasność obserwowaną z orbity Ziemi, aby usunąć wpływ atmosfery.
Dla gwiazd i galaktyk magnitudo absolutne definiuje się standardowo jako jasność obserwowaną z odległości 10 parseków (32,6 lat świetlnych). Definicja ta wynika z historycznych uwarunkowań i jest powszechnie stosowana w astronomii gwiazdowej i pozagalaktycznej. Dla obiektów Układu Słonecznego stosuje się inne standardowe odległości: dla planet i planetoid magnitudo absolutne definiuje się dla odległości 1 j.a. od Słońca i 1 j.a. od obserwatora, przy założeniu kąta fazowego 0° (pełne oświetlenie). Dla komet definicja jest nieco bardziej złożona, uwzględnia bowiem ich aktywność i rozkład światła w komie i warkoczu.
Związek między magnitudo pozornym \(m,\) absolutnym \(M\) i odległością \(d\) (wyrażoną w parsekach) wyraża się klasycznym wzorem modułu odległości: \[m - M = 5 \log_{10} (d) - 5 + A,\] gdzie dodatkowy składnik \(A\) oznacza ekstynkcję. Dla obserwacji pozagalaktycznych lub kosmologicznych uwzględnia się również inne efekty, tj. korekty związane z przesunięciem ku czerwieni (m.in. tzw. k-correction) i efektami relatywistycznymi.
Jasność można również analizować pod kątem obszaru widma, które obserwujemy. Gdy interesuje nas całkowita jasność we wszystkich długościach fal, definiuje się jasność bolometryczną \(m_{\mathrm{bol}}\) i \(M_{\mathrm{bol}}.\) Dla Słońca typowa wartość bolometrycznego magnitudo absolutnego wynosi \(M_{\mathrm{bol},\odot} \approx 4{,}74.\) Różnica między magnitudo bolometrycznym a wizualnym gwiazdy jest opisywana przez korektę bolometryczną, zależną od temperatury i widmowego rozkładu energii gwiazdy.
W praktycznej fotometrii nie obserwujemy całego widma, lecz wybrane jego fragmenty, określone przez używane filtry. Ponieważ definicja magnitudo w danym systemie zależy od funkcji odpowiedzi instrumentu, krzywe transmisji i odbicia filtrów są kluczowe dla określenia faktycznego strumienia rejestrowanego przez detektor.
Kalibracja skali magnitudo
W czasach, kiedy w astronomii zaczęto utrwalać obrazy, potrzebne stało się precyzyjne zdefiniowanie skali magnitudo (czyli dokładne zdefiniowanie stałych kalibracyjnych \(C\) z równania (1)). Jako punkt odniesienia została wybrana Wega – gwiazda jasna, niezaczerwieniona i najjaśniejsza z gwiazd wczesnego typu widmowego na półkuli północnej. Początkowa definicja obejmowała kilka gwiazd oprócz Wegi. Zakładano, że te gwiazdy mają średnio magnitudo \(V\) = 0 i wskaźniki barwy, czyli kolory fotometryczne, również równe 0 (w rzeczywistości Wega ma \(V\) = 0,03).
Istnieje także inny problem związany z użyciem Wegi jako odniesienia. Jej dość szybki obrót wzdłuż własnej osi generuje zmienność między 2% a 6%, w zależności od pasma. Do bardzo precyzyjnych prac potrzebna jest więc ostrożność przy użyciu systemu opartego na Wedze.
W praktyce pomiary są bardziej skomplikowane, ponieważ Wega nie zawsze jest dostępna do obserwacji w tym samym czasie co źródło. Dlatego systemy fotometryczne wymagają definicji wielu wtórnych standardów fotometrycznych rozproszonych po niebie.
Współcześnie porównuje się wiele nakładających się ekspozycji wykonanych w różnych częściach nieba. Takie podejście, zastosowane m.in. w przeglądzie SDSS (metoda ubercal) oraz w Obserwatorium im. Very Rubin (algorytm FGCM), umożliwia dokładne wyznaczenie punktu zerowego skali magnitudo z dokładnością rzędu milimagnitud.
O obserwatorium im. Very Rubin pisaliśmy w \(\Delta_{26}^4.\)
Krótko o historii detektorów
Choć skala magnitudo ma swoje korzenie w historii percepcji wzrokowej i definicjach Pogsona, jej praktyczne użycie zależy od możliwości detektorów.
Pierwszymi używanymi detektorami były płytki fotograficzne. Płytki oferowały możliwość dłuższej integracji, a tym samym wykrywania słabszych obiektów. Dostarczały również trwałych zapisów obserwacji. Jednak ich analiza była trudna, cierpiały na nieliniowość odpowiedzi i miały niską wydajność kwantową (stosunek wykrytych fotonów do padających fotonów).
Prawdopodobnie pierwszym, który sfotografował gwiazdę inną od Słońca (była to gwiazda Wega (α Lyr)), był John Adams Whipple, amerykański wynalazca, pracujący razem z astronomem Williamem Cranch Bondem w Harvard College Observatory. George Phillips Bond, syn W. C. Bonda, jest również uważany za jednego z pionierów w tej dziedzinie.
Fotometria CCD, jak każda metoda obserwacyjna, jest podatna na wpływ warunków zewnętrznych i charakterystyk instrumentu – a przy precyzyjnych pomiarach trzeba to uwzględnić. Surowe obrazy z detektora CCD zawierają nie tylko interesujący nas sygnał pochodzący od obiektów astronomicznych, lecz także zakłócenia związane z elektroniką kamery i układem optycznym. Dlatego przed właściwą analizą tworzy się i stosuje tzw. obrazy referencyjne: bias \(B(x,y)\) (reprezentujący elektroniczny offset, obecny nawet przy zerowym czasie ekspozycji), dark \(D(x,y)\) (opisujący sygnał generowany przez prąd ciemny detektora) oraz flat \(F(x,y)\) (korygujący nierównomierną czułość pikseli i oświetlenie pola widzenia).
Aby otrzymać wiarygodne pomiary jasności, surowe obrazy poddaje się kalibracji z użyciem klatek referencyjnych. Proces ten opisywany jest wzorem: \[\begin{gathered} I_{\mathrm{cal}}(x,y) \\= \frac{ I_{\mathrm{raw}}(x,y) - B(x,y) - t_{\mathrm{exp}}\,D(x,y)}{F_{\mathrm{norm}}(x,y)}, \end{gathered}\] \(t\) to czas ekspozycji.
Dopiero tak skalibrowane obrazy mogą być wykorzystane do pomiarów fotometrycznych. Kalibrację wykonuje się w specjalnych programach, które usprawniając ten proces, pozwalają zaoszczędzić sporo czasu. Więcej o technicznych aspektach astrofotografii pisał Ireneusz Nowak w \(\Delta^4_{24}\).
Rozwój technik pomiaru jasności gwiazd postępował równolegle z pojawieniem się coraz bardziej czułych detektorów. Fotoelektryczna fotometria gwiazd pojawiła się wraz z wprowadzeniem fotokomórek, a następnie fotopowielaczy. W 1892 roku irlandzki astronom William Monck jako pierwszy dokonał pomiarów astronomicznych za pomocą ogniwa fotowoltaicznego (wyprodukowanego przez George’a Minchina).
W 1907 roku kolejne próby fotoelektrycznych obserwacji astronomicznych podjął Amerykanin Joel Stebbins. Wraz z Paulem Guthnickem był pionierem w użyciu metod fotoelektrycznych do fotometrii, rozwijając je do poziomu precyzyjnego narzędzia pomiarowego.
Kolejnym przełomem były układy CCD (Charge-Coupled Devices), wynalezione w 1969 roku przez Willarda Boyle’a i George’a Smitha, pierwotnie do zastosowań komputerowych; pierwszy obraz astronomiczny wykonano nimi w obserwacjach Urana w Jet Propulsion Laboratory. Układy CCD szybko zrewolucjonizowały pomiary fotometryczne dzięki wysokiej czułości, liniowości i stabilności i pozostają do dziś podstawowym detektorem używanym w astronomii.
Podsumowanie
Skala magnitudo pozostaje wygodnym i historycznie uzasadnionym sposobem zapisu jasności astronomicznych; jej logarytmiczny charakter wynika z percepcji wzrokowej i został sformalizowany przez Pogsona. W praktyce fotometrycznej kluczowe są:
dokładne zdefiniowanie punktu zerowego danego systemu (opartego np. na Wedze),
precyzyjne określenie odpowiedzi instrumentu, czyli tego, jak filtr, detektor i optyka reagują na różne długości fali,
rygorystyczna kalibracja obejmująca obserwacje gwiazd standardowych, poprawki na masę powietrza, barwy obiektów i propagację punktów zerowych do obserwowanych obszarów nieba.
Czytelników zainteresowanych skalami magnitudo zachęcamy również do samodzielnego zapoznania się ze współczesnymi przeglądami nieba – z których najważniejsze są 2MASS, SDSS i Gaia.
Dla uzyskania precyzji rzędu 1% konieczne jest odwołanie się do spektrofotometrycznych standardów i starannego modelowania wszystkich składników systemu pomiarowego.