Zadania

Odpowiedź. a) Tak, zawsze. b) Nie, nie zawsze.

1) Oznaczmy długości patyczków przez \[a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge a_4 \ge a_5 \ge a_6.\] Ponieważ patyczek o długości \(a_1\) był bokiem pewnego trójkąta wraz z dwoma innymi patyczkami, jego długość jest mniejsza od sumy długości tych dwóch pozostałych patyczków. W szczególności \[a_1 < a_2 + a_3.\] Ponieważ zachodzi \(a_1 \ge a_2\) oraz \(a_1 \ge a_3,\) nierówność \(a_1 < a_2 + a_3\) jest wystarczająca, aby z patyczków o długościach \(a_1,\) \(a_2,\) \(a_3\) można było ułożyć trójkąt.

2) Niech początkowo dane będą dwa przystające trójkąty o bokach długości \(1,\) \(3,\) \(3.\) Wówczas trzy najkrótsze patyczki mają długości \[1,\ 1,\ 3,\] z których nie można ułożyć trójkąta, gdyż suma dwóch krótszych jest równa 2, czyli mniej niż długość trzeciego.

Odpowiedź. Taki ciąg arytmetyczny nie istnieje.

Przypuśćmy, że istnieje rosnący ciąg arytmetyczny \[a,\ a+d,\ a+2d,\ \ldots,\ a+149d{}\] złożony ze \(150\) dobrych liczb całkowitych. Skorzystamy z następującego znanego faktu.

Fakt. Jeżeli liczba całkowita \(d\) jest względnie pierwsza z liczbą naturalną \(m,\) to wśród dowolnych \(m\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy \(d\) znajduje się liczba podzielna przez \(m.\)

Istotnie: Liczby \[a,\ a+d,\ a+2d,\ \ldots,\ a+(m-1)d\] dają wszystkie możliwe reszty modulo \(m.\) Gdyby bowiem dla pewnych \(0\le k<\ell<m\) zachodziło \[a+kd \equiv a+\ell d \pmod m,\] to mielibyśmy \((\ell-k)d \equiv 0 \pmod m,\) a z względnej pierwszości \(d\) i \(m\) wynikałoby, że \(m \mid (\ell-k),\) co jest niemożliwe.

Niech teraz \(p\) i \(q\) będą dwiema liczbami pierwszymi kończącymi się różnymi cyframi, takimi że \(pq \le 150.\) Nazwijmy taką parę szkodliwą. Jeżeli \(d\) nie dzieli się ani przez \(p,\) ani przez \(q,\) to z faktu wynika, że w naszym ciągu arytmetycznym istnieje wyraz podzielny przez \(pq,\) co jest niemożliwe, gdyż liczba dobra nie może mieć dwóch dzielników pierwszych kończących się różnymi cyframi.

Stąd wynika, że dla każdej szkodliwej pary liczb pierwszych liczba \(d\) musi dzielić się przynajmniej przez jedną z nich.

Rozważmy teraz liczby pierwsze \[2,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13.\] Każde dwie z nich tworzą szkodliwą parę, zatem \(d\) musi dzielić się przez wszystkie te liczby, z wyjątkiem co najwyżej jednej.

Ponadto liczby \(3\) i \(19\) również tworzą szkodliwą parę, a więc \(d\) dzieli się przynajmniej przez jedną z nich. W konsekwencji otrzymujemy \[d \ge (2\cdot 5\cdot 7\cdot 11)\cdot 3 = 2310 > 2026,\] co jest sprzeczne z założeniem.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że taki ciąg arytmetyczny nie istnieje.

Opiszemy jedną z możliwych strategii wygrywających Rozalii. W pierwszym ruchu Rozalia zamalowuje wszystkie pola leżące na dowolnie wybranej głównej przekątnej planszy. Po tym ruchu plansza rozpada się na dwie jednakowe „schodkowe” części. Następnie wyobraźmy sobie, że w każdej z tych części przesuwamy każdy poziomy rząd, z wyjątkiem pierwszego, o pół pola względem poprzedniego.

W wyniku tych przesunięć zarówno dawne piony, jak i dawne przekątne równoległe do głównej stają się ukośnymi rzędami pól. Przy tym „piony” jednej części są symetryczne do „przekątnych” drugiej. Oznacza to, że na każdy ruch Wandy Rozalia może odpowiedzieć ruchem symetrycznym w drugiej części planszy (dwa takie przykłady pokazano na rysunku). Po każdym ruchu Rozalii sytuacja na przekształconej planszy pozostaje symetryczna, a zatem Rozalia zawsze ma możliwy ruch zgodny z opisaną strategią. Ponieważ gra na pewno się zakończy (po nie więcej niż \(10^4\) ruchach), w pewnym momencie Wanda nie będzie mogła wykonać ruchu, a Rozalia wygra.

Przyjmijmy, że wiatr wieje prostopadle do ściany domu, gęstość niesionego przezeń powietrza wynosi \(\rho,\) a powierzchnia ściany \(S.\) W ciągu jednej sekundy do ściany dociera więc powietrze o masie \(m = S \rho v\) i pędzie \({p = mv = S\rho v^2}.\) Ściana zmienia kierunek i prędkość wiatru, co oznacza, że przejmuje znaczny ułamek jego pędu. Wartość tego ułamka w przybliżeniu nie zależy od prędkości wiatru (a od sposobu, w jaki zmienia on kierunek i prędkość). Oznacza to, że siła nacisku na ścianę jest proporcjonalna do \(v^2.\) Wiatr o prędkości 200 km/h naciska więc na ścianę z siłą w przybliżeniu 16 razy większą niż wiatr o prędkości 50 km/h.

Uwaga: Bardzo silne wiatry, takie jak orkany, związane są zwykle z niskim ciśnieniem atmosferycznym, a więc i mniejszą gęstością powietrza. Jednak w najsilniejszych orkanach ciśnienie nie spada poniżej około 90% normalnego ciśnienia atmosferycznego, a więc różnica gęstości powietrza między zwykłą wichurą i orkanem jest zwykle niewielka.

a) Z zasady zachowania pędu wynika, że biegacz uzyskuje dokładnie taki sam pęd jak podłoże. Energia kinetyczna uzyskana przez ciało jest równa działającej na nie sile pomnożonej przez drogę, na jakiej ta siła działa. Z trzeciej zasady Newtona wynika, że biegacz działa na podłoże taką samą siłą, jak podłoże działa na niego. W każdym kroku biegacz przebywa dłuższą drogę niż podłoże – dokładniej: w każdym kroku biegacz przesuwa podłoże, odkształcając je o znacznie mniejszy odcinek (droga działania siły) niż sam się przesuwa. Oznacza to, że biegacz uzyskuje więcej energii niż podłoże.

b) Podobnie jak w punkcie a) pęd uzyskany przez łódź z wioślarzem jest równy pędowi przekazanemu wodzie. W tym przypadku jednak każde z piór wioseł działa połową siły napędzającej łódź i pokonuje w każdym cyklu wiosłowania dłuższą drogę niż łódź. Oznacza to, że większą energię kinetyczną uzyskuje woda.

Pomysły obu zadań pochodzą z książki Lewisa C. Epsteina Thinking Physics, Understandable Practical Reality.