Kontakt:
gornicki59@gmail.com
W 1985 roku ukazała się książka Surely You’re Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character o życiu á la Feynman. To zbiór anegdot i wspomnień Richarda Feynmana spisanych przez Ralpha Leightona w ciągu wielu lat ich wspólnego grania na bębnach. W rozdziale Szczęśliwe liczby Feynman wspomina, jakie wrażenie robił na rozmówcach, wykonując trudne obliczenia w pamięci. W dobie wszechobecnych smartfonów ta sztuka (wiedza?) chyba zanika, więc może warto przenieść się na chwilę do czasów bez komputerów.
Richard P. Feynman, Ralph Leighton, Pan raczy żartować, panie Feynman! Przypadki ciekawego człowieka, Wyd. Znak, Kraków 1996 (są wydania późniejsze).
Richard P. Feynman, laureat Nagrody Nobla (1965 rok, współnie z Julianem Schwingerem i Shin’ichirō Tomonagą) za fundamentalny wkład w badania nad kwantową teorią oddziaływań elektromagnetycznych. Wniósł również istotny wkład w wyjaśnianie zjawiska nadciekłości i teorii oddziaływań słabych odpowiedzialnych za rozpady promieniotwórcze.
Feynman był fizykiem, ukończył MIT w 1939 roku, a Princeton University w 1942. Jeszcze przed ukończeniem Princeton, mając 23 lata, rozpoczął pracę w Projekcie Manhattan (początkowo w Princeton, później w nowej lokalizacji w Los Alamos). Pracował w zespole teoretycznym Hansa Bethego (Nagroda Nobla, 1967), który powierzył mu kierowanie zespołem obliczeniowym tzw. „żywych komputerów”, grupą ludzi o wyjątkowych umiejętnościach rachunkowych, którzy wykonywali skomplikowane, żmudne obliczenia (to protoplaści późniejszych programistów). Dyrektor Laboratorium Los Alamos J. Robert Oppenheimer o Feynmanie pisał (1943): „pod wszelkimi względami jest tutaj najbardziej bystrym młodym fizykiem, i wszyscy o tym wiedzą”.
24-letni R.P. Feynmann na identyfikatorze
Laboratorium Los Alamas (rok 1942)
Feynman wspominał, że podczas pobytu w Princeton podjął wyzwanie (rzucone prawdopodobnie przez Johna Tukeya) obliczenia w pamięci przybliżonych wartości \(e^{3,3},\) \(e^3,\) \(e^{1{,}4}.\) Feynman mówił o swoim rozwiązaniu, ale wszystkiego nie ujawnił. Pójdziemy jego tropami.
Obliczenie \({e^{3,3}}.\) Feynman znał na pamięć wartości kilku logarytmów, wśród nich \(\ln 10\approx 2{,}3026,\) czyli \(e^{2{,}3026}\approx 10.\) Ponieważ \(e\approx2{,}71828,\) więc \[\begin{aligned} e^{3,3026}=e^{2{,}3026}\cdot e^1\approx 10\cdot 2{,}71828 =27{,}1828. \end{aligned}\] To za dużo, trzeba uwzględnić poprawkę \(e^{-0{,}0026}.\) Ponieważ \(e^{\pm x}\approx 1\pm x\) dla małych wartości \(x,\) więc \[\begin{aligned} e^{3,3}=e^{3,3026}\cdot e^{-0{,}0026} & \approx 27{,}1828\cdot (1-0{,}0026) \\ & \approx 27{,}18 - 27\cdot 26\cdot 0{,}0001 \\ & \approx 27{,}18 -700\cdot 0{,}0001 \\ & = 27{,}18 -0{,}07 =27{,}11. \end{aligned}\] Dokładniejsze przybliżenie liczby \(e\) oraz dokładna wartość \(27\cdot 26\) (bo to łatwy rachunek) poprawia wynik: \[\begin{aligned} e^{3,3}\approx 27{,}1828-702\cdot 0{,}0001=27{,}1828 - 0{,}0702=27{,}1126.\hbox{~} \end{aligned}\] W ten sposób faktycznie dostajemy początkowe cyfry rozwinięcia dziesiętnego \(e^{3,3}\) (czyli 27,1126389…).
W słynnych Wykładach z fizyki (tom I, rozdział 22-4) Feynman opisał, jak Henry Briggs w 1620 roku wyznaczył wielocyfrowe tablice logarytmów dziesiętnych.
\[\begin{aligned} 27\cdot 26 & =(25+2)(25+1) \\ & =25^2+3\cdot 25 +2 \\ & =625+75+2=702. \end{aligned}\]
Obliczenie \({e^3}.\) Feynman znał również przybliżoną wartość \(\ln 2\approx 0{,}69315,\) więc z grubsza \(e^3=e^{2{,}3}\cdot e^{0{,}7}\approx 10\cdot 2 =20.\) Dokładniej, \[\begin{aligned} e^3=e^{2{,}3026}\cdot e^{0{,}69315}\cdot e^{0{,}00425} & \approx 10\cdot 2\cdot (1+0{,}00425) \\ & =20+2\cdot 0{,}0425= 20{,}085. \end{aligned}\] Ponownie wynik jest zadowalający; za pomocą komputera sprawdzamy, że \(e^3=20{,}08553\dots\)
Tutaj de facto skupiamy się tylko na sumie wartości logarytmów i jej różnicy od wartości \(3\): \[\begin{array}{r} 2{,}30260 \\ +~0{,}69315 \\ \hline 2{,}99575 \end{array}\]
Obliczenie \({e^{1{,}4}}.\) Ponieważ \(e^{1{,}4}=e^{0{,}7+0{,}7},\) a \(e^{0{,}7}\approx 2,\) więc wynik jest bliski \(4.\) Dokładniej, \(e^{2\cdot 0{,}69315}=e^{1{,}3863}\approx 4.\) Biorąc wykładniki do trzech miejsc po przecinku (rachunki na wartościach logarytmów są wtedy łatwiejsze), mamy \[\begin{aligned} e^{1{,}4}=e^{1{,}386}\cdot e^{0{,}014}\approx 4\cdot (1+0{,}014)=4+0{,}056\approx 4{,}05. \end{aligned}\] Zwiększając dokładność do czterech miejsc po przecinku, \[\begin{aligned} e^{1{,}4}=e^{1{,}3863}\cdot e^{0{,}0137}\approx 4\cdot (1+0{,}0137)=4+0{,}0548\approx 4{,}055. \hbox{~} \end{aligned}\]
Swój wyczyn Feynman skomentował w książce słowami: Nigdy się nie zorientowali, jaką miałem metodę.
W 1949 roku Feynman przez kilka miesięcy przebywał w Brazylii. Spotkał tam pewnego Japończyka (w Brazylii jest liczna diaspora japońska), który był pewien, że szybciej obliczy pierwiastek sześcienny, korzystając z japońskiego liczydła (sorobanu), niż Feynman w pamięci. Zaproponował obliczenie \(\sqrt[3]{1729{,}03}.\) Nie docenił wiedzy Feynmana.
Obliczenie \({\sqrt[3]{1729{,}03}}.\) Feynman wiedział, że \(\sqrt[3]{1+x}\approx 1+\frac{1}{3}x\) dla małych wartości \(x.\) Wiedział również, że \(12^3=1728\) (bo stopa to 12 cali, więc stopa sześcienna ma \(1728=12^3\) cali sześciennych; to dla Amerykanów wiedza powszechna). Zatem \[\begin{aligned} \sqrt[3]{1729{,}03} & =\sqrt[3]{1728}\cdot \sqrt[3]{1+\frac{1{,}03}{1728}}\approx 12\cdot \Big(1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1{,}03}{1728}\Big) \\ & =12+\frac{1{,}03}{3\cdot 144}=12+\frac{1{,}03}{432}, \end{aligned}\] a oszacowanie ostatniego ułamka jest łatwe: \[\begin{aligned} 0{,}00206=\frac{206}{100000}=\frac{103}{50000}<\boldsymbol{\frac{103}{43200}}<\frac{100}{40000}=\frac{2500}{1000000}=0{,}0025. \end{aligned}\] Stąd \(\sqrt[3]{1729{,}03}\approx 12{,}002.\)
Przy okazji wspomnijmy, że \(1729\) to liczba Ramanujana, najmniejsza liczba naturalna, którą można przedstawić na dwa różne sposoby jako sumę dwóch sześcianów: \(1729=12^3+1^3=10^3+9^3.\)
Podczas pobytu w Los Alamos Feynman spotkał niezwykłych ludzi. Chociaż sam – jak widać po przedstawionych wyżej rozumowaniach – był niezwykle biegły w rachunkach, przyznawał, że arcymistrzem obliczeń był Hans Bethe. Jednocześnie wspominał, że Paul Olum zawsze potrafił go zaskoczyć zadaniem rachunkowym, wobec którego był bez szans. Ciekawych przypadków Richarda Feynmana było bardzo wiele – tym, którzy nie czytali jeszcze tych fascynujących wspomnień, gorąco polecam ich lekturę.