Kontakt:
gornicki59@gmail.com
W filmie Die another day z 2002 roku (polski tytuł Śmierć nadejdzie jutro) agent 007 dostaje od \(Q\) samochód, który może być niewidzialny. Czy istnieją rzeczy niewidzialne wykonane z nieprzezroczystego materiału, przez które można widzieć bez zniekształceń? Zauważmy, że „niewidzialność” to pojęcie niejednoznaczne. Technologia stealth pozwala samolotowi być niewidzialnym dla radaru. Pochłania on fale radiowe emitowane przez radar i ich nie odbija, ale my ten samolot widzimy. Ustalmy zatem, że obiekt niewidzialny to taki, który jest niewidzialny dla ludzkiego oka, w ramach optyki geometrycznej. Pokażemy, że niewidzialność dla ludzkiego oka jest możliwa! Uzyskamy to dzięki geometrii powierzchni; własność materiału nie ma z tym nic wspólnego. Zanim o tym powiemy, poznajmy zaskakujące odkrycia Newtona dotyczące… oporu ośrodka.
Isaac Newton (1642–1727) w wieku 23 lat dostrzegł działanie powszechnej siły grawitacji, wymyślił nowe metody rachunkowe (rachunek różniczkowy i całkowy) i opisał naturę światła. W latach 1669–1701 piastował stanowisko Lucasian Professor of Mathematics w Cambridge (Trinity College). W maju 1684 roku (gdy miał 42 lata) zaczął pisać książkę Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Napisał ją po łacinie w formie nawiązującej do Elementów Euklidesa. Praca nad nią trwała do kwietnia 1686 roku, a jej pierwsze wydanie ukazało się w 1687 roku. Treścią nie były nagłe olśnienia, lecz długotrwałe, głębokie przemyślenia Newtona z lat wcześniejszych.
Portret Isaaca Newtona (G. Kneller, 1689) ze zbiorów The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, University of Cambridge.
Newton osiwiał w wieku 30 lat, ale do końca życia zachował długie, gęste, faliste włosy. Nigdy nie nosił peruki, jak to było wówczas w modzie
Na Principia składają się definicje, aksjomaty, czyli prawa ruchu, Księga I i II, obie o ruchu ciał, Księga III o układzie świata oraz Komentarz ogólny. Księga I dotyczy ruchu zachodzącego bez jakiegokolwiek ośrodka stawiającego opór. Księga II to opis ruchu w ośrodku stanowiącym opór. Księga III to zastosowanie zasad opisanych w dwóch pierwszych księgach do wyjaśnienia działania i budowy Układu Słonecznego: skutki grawitacji, orbity planet i komet, spłaszczenie Ziemi i planet, zaburzony ruch Księżyca, zjawisko pływów, precesja punktu równonocy.
W tym precyzyjnym planie część tekstu Newton poświęcił zagadnieniom szczegółowym (przypominają one dygresje). Niektóre z nich przez blisko 300 lat budziły zdziwienie. Tak było z problemem aerodynamicznym, który spróbujemy omówić. Problem aerodynamiczny polega na znalezieniu kształtu powierzchni, która napotyka najmniejszy opór podczas ruchu w danym ośrodku. W naszej prezentacji pójdziemy śladami Newtona, rozważając możliwie prostą sytuację. W Księdze II Principiów znajdujemy
Stwierdzenie XXXIV. Niech w rozrzedzonym ośrodku składającym się z jednakowych cząstek rozmieszczonych w jednakowych wzajemnych odległościach poruszają się kula i cylinder [walec], które mogą być wpisane w sześciany o tym samym boku, z jednakowymi prędkościami w kierunku osi cylindra. Wówczas opór kuli będzie o połowę mniejszy od oporu cylindra.
Znajomość treści Principiów nie jest powszechna, więc zaczniemy od niezbędnych wyjaśnień. Przez ruch rozumiemy ruch postępowy: ciało porusza się w jednym kierunku, bez obrotu. Ośrodek, w którym zachodzi ruch, jest nieruchomy i jednorodny (wszędzie taki sam). Ośrodek jest rozrzedzony, gdy jego cząstki są daleko od siebie i są nieruchome (temperatura ośrodka jest bliska zera bezwzględnego). Każda z nieruchomych cząstek ma ustaloną masę \(m\) i jest idealnie sprężystą kulą. Samo ciało jest również idealnie sprężyste, więc mała kulka, zderzając się z ciałem, odbija się od niego zgodnie z prawem: kąt padania jest równy kątowi odbicia. Dla wygody przyjmiemy, że to nie ciało porusza się w nieruchomym ośrodku, lecz odwrotnie, nieruchome ciało umieszczone jest w ośrodku poruszającym się ze stałą prędkością \(v.\) Porównamy siły oporu, jakie działają na nieruchomą kulę i nieruchomy walec (opisane w Stwierdzeniu XXXIV), gdy ciała te uderzane są przez poruszające się cząsteczki ośrodka. Newton posługuje się proporcjami odcinków i nie stosuje wektorów. Aby dostosować rozważania do współczesnych umiejętności, wykorzystamy jednak trygonometrię i układ współrzędnych.
Przypomina to sytuację, gdy ciało porusza się w górnych warstwach atmosfery, gdzie powietrze jest rozrzedzone i zimne, lub też w przestrzeni międzygwiezdnej.
Przyjęte tu założenie prowadzi do poprawnych konkluzji, bo działanie ośrodka na ciało jest takie samo, niezależnie czy ciało porusza się w nieruchomym ośrodku, czy też cząstki ośrodka uderzają w nieruchome ciało z taką samą prędkością w danym kierunku. Ignorujemy również, że odbite cząstki mogą zderzać się z cząstkami nacierającego ośrodka i ruch ośrodka może stać się chaotyczny.
Załóżmy, że kula i walec wpisane są w jeden sześcian i obie bryły zostały przecięte płaszczyzną zawierającą oś walca \(AI\) (rys. 1). Na kulę i walec działają niezależnie cząstki ośrodka poruszające się w kierunku \(FE\) (równolegle do osi walca). Wszystkie cząstki niosą taki sam pęd. Niech odcinek \(LB\) reprezentuje pęd cząstki uderzającej w kulę i niech \(LB=CB=r.\) Jeżeli \(BD\) jest styczną do powierzchni kuli w punkcie \(B,\) to kąt \(\angle LBD=\alpha,\) \(0\leqslant\alpha \leqslant \frac{\pi}{2},\) nazywamy kątem natarcia. Wtedy składowa pędu prostopadła do stycznej ma wartość \({LD = LB\cdot\sin\alpha = r \cdot \sin \alpha}.\) W wyniku zderzenia składowa ta zmienia zwrot na przeciwny i przekazuje kuli pęd równy dwukrotności tej składowej, skierowany w stronę jej środka masy. Rzut tej składowej na kierunek \(BE\) ma wartość \(LD\cdot\sin\alpha = r\cdot\sin^2\alpha.\) Jest to właśnie ta interesująca nas część przekazywanego pędu. Analogiczne wkłady od wszystkich cząstek sumują się i przyczyniają do ruchu kuli wzdłuż osi \(BE,\) natomiast składowe prostopadłe do osi \(BE\) wzajemnie się znoszą. Z przystawania trójkątów \(\triangle DLB \sim \triangle EBC\) mamy \({LD=BE}\) i \(\sin\alpha =\frac{BE}{BC} = \frac{BE}{r}.\) Interesującą nas część pędu cząstki padającej w punkcie \(B,\) ale zaczepioną w punkcie \(b,\) reprezentuje odcinek \({bH=r\cdot\sin^2\alpha =\frac{1}{r}\cdot BE^2}.\) Gdy punkt \(B\) przemieszcza się wzdłuż półokręgu od punktu \(K\) do punktu \(A,\) to przemieszcza i zmienia się odcinek \(bH\) tak, że punkt \(H\) zakreśla parabolę. Obrót tej paraboli wokół osi \(AC\) ogranicza paraboloidę, którą zajmują wszystkie odcinki \(bH\) tworzące składowe pędów wszystkich cząstek padających na kulę, które po zsumowaniu powodują zmianę pędu kuli w kierunku \(FE.\) Walec opisany na tej paraboloidzie tworzą wszystkie odcinki \(bE(=r),\) które po zsumowaniu (i pomnożeniu przez 2, ze względu na odbicie sprężyste cząstki) dają zmianę pędu kuli spowodowaną przez wszystkie cząstki padające na walec z tego samego kierunku w jednostce czasu. Efektywna siła oporu jest proporcjonalna do tego przekazu pędu w jednostce czasu. Paraboloida wpisana w walec ma objętość o połowę mniejszą od objętości tego walca, stąd wynika teza. \(\Box\)
Rys. 1
Idealizując sytuację, ignorujemy fakt, że odbite cząstki mogą zaburzać tor ruchu cząstek podążających na spotkanie z bryłą, tworząc rozmaite zawirowania.
Istotnie, jeśli wzdłuż \(OAN\) ustalimy oś \(X,\) \(Ab=CE=x,\) gdzie \(-r\leqslant x\leqslant r,\) wzdłuż \(ACI\) ustalimy oś \(Y,\) to \(y=H(x)=\frac{1}{r}\cdot BE^2=\frac{1}{r}(r^2-x^2).\)
O objętości paraboloidy wpisanej w walec pisałem w \(\Delta^{11}_{16}\).
W świetle dewizy Newtona hypotheses non fingo (nie stawiam hipotez) ciekawsze są jego komentarze (scholium) do omawianej propozycji. Ponieważ mała powierzchnia będzie miała mały opór, musimy określić rozmiar poszukiwanej powierzchni. Newton zakłada, że powierzchnia ta ogranicza figurę wypukłą i jest powierzchnią obrotową (a więc symetryczną).
Problem. Określ wymiary stożka ściętego o promieniu podstawy \(OC=r\) i wysokości \(OD=2a\) stawiającego najmniejszy opór podczas ruchu w kierunku \(OS\) w rozrzedzonym ośrodku.
Rys. 2
Niech \(OS=x\geqslant 2a\) i kąt \(\angle CSO=\alpha <\frac{\pi}{2}.\) Na powierzchnię stożka działają niezależnie cząstki ośrodka poruszające się w kierunku \(SO,\) wszystkie niosące taki sam pęd \(P\) zarówno co do wartości, jak i kierunku. Z podobieństwa trójkątów \(\triangle SOC\sim \triangle SDF\) mamy \(DF = r \cdot \frac{x-2a}{x}.\) Na kołową podstawę o polu \(\pi\cdot DF^2=\pi \frac{r^2(x-2a)^2}{x^2}\) działają cząsteczki, każda przekazując pęd \(2P.\) Kąt natarcia cząsteczki na tworzącą stożka ma miarę \(\alpha,\) więc przekazany stożkowi pęd (prostopadły do tworzącej i skierowany do wnętrza stożka) jest równy \(2P\cdot\sin\alpha,\) gdzie \(\sin\alpha =\frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}},\) a jego składowa w kierunku \(SO\) wynosi \(2P\cdot\sin^2\alpha.\) Zatem całkowity pęd przekazany stożkowi jest sumą pędów \(2P\) w każdym punkcie koła o polu \(\pi\cdot DF^2\) oraz pędu \(2P\cdot\sin^2\alpha\) w każdym punkcie pierścienia o polu \(\pi\cdot OC^2-\pi\cdot DF^2.\) Jeśli przez \(k\) oznaczymy stały czynnik, to efektywny opór jest równy \[k\biggl[ \frac{r^2(x-2a)^2}{x^2} + \biggl( r^2 - \frac{r^2(x-2a)^2}{x^2} \biggr) \cdot \frac{r^2}{x^2+r^2} \biggr] = kr^2\cdot \frac{(x-2a)^2+r^2}{x^2+r^2},\] gdzie \(x\geqslant 2a.\) Osiąga on wartość najmniejszą w punkcie, w którym jest minimum funkcji: \[f(x)=\frac{(x-2a)^2+r^2}{x^2+r^2}\ \ \ \text{dla $x\geqslant 2a,$}\] a to ma miejsce dla \(x_0=a+\sqrt{a^2+r^2}.\)
Moduł dowodzenia Skylab 4 umożliwił powrót na Ziemię załogi ze stacji kosmicznej Skylab (1974)
Punkt \(x_0\) można wyznaczyć, korzystając z rachunku pochodnych lub bez jego pomocy (jak?).
Otrzymana odpowiedź jest zgodna z konstrukcją wskazaną przez Newtona: „połowimy odcinek \(OD\) w \(Q\) i przedłużamy \(OQ\) do \(S\) tak, aby \(QS\) było równe \(QC.\) Wówczas \(S\) jest wierzchołkiem stożka, którego część [stożek ścięty \(COBGDF\)] jest rozwiązaniem problemu”.
Z przeprowadzonych rozważań wynika również, że kąt \(\angle CSB\) jest zawsze
ostry. \(\Box\)
Voyager 1 (1977), który opuścił Układ Słoneczny w 2012 r.
I mamy niespodziankę, wśród stożków o danej podstawie i wysokości najmniejszy opór w rozrzedzonym ośrodku stawia stożek ścięty (!), i to niezależnie od początkowych wartości \(r\) i \(2a.\) Dodatkowo, im mniejszy stosunek \(\frac{2a}{r},\) tym większa będzie część płaska. Czy więc rzeczywiście „odwrócona patelnia” to najbardziej opływowa powierzchnia w rozrzedzonym ośrodku?
Wnioski te wydawały się tak absurdalne, że uznano je za błąd geniusza, były ignorowane (niezrozumiane?) przez 300 lat, aż do XX wieku, gdy rozpoczęła się eksploracja kosmosu\(\ldots\)