Przetasowane kwadraty w językach naturalnych

Afiliacja: Politechnika Śląska

If you spend all day shuffling words around, you can make anything sound bad, Morty.

Rick Sanchez

Kombinatoryka na słowach to dyscyplina z pogranicza matematyki dyskretnej i informatyki teoretycznej. Naukowcy publikujący artykuły z tej dziedziny często okraszają przywoływane definicje finezyjnymi przykładami zaczerpniętymi z języka naturalnego. Trudno im się dziwić: chociażby przy wyjaśnianiu, czym jest anagram niełatwo oprzeć się pokusie przywołania wyrażeń \(\mathtt{ELEVENPLUSTWO}\) i \(\mathtt{TWELVEPLUSONE}.\)

Anagram \(W'\) słowa \(W\) powstaje poprzez przestawienie kolejności liter w słowie \(W.\)

Zatem, ze względu na swoją nietrywialną strukturę, łakomym kąskiem do poszukiwań ciekawych przykładów są przetasowane kwadraty.

Kwadrat jest słowem, które otrzymujemy poprzez „sklejenie” (konkatenację) dwóch kopii tego samego słowa: łącząc ze sobą dwie kopie \(\mathtt{MA},\) otrzymujemy \(\mathtt{MAMA},\) a z dwóch \(\mathtt{HOTS}\) dostajemy \(\mathtt{HOTSHOTS}.\) Można na to spojrzeć tak, że kwadrat to takie słowo o parzystej liczbie liter, że jeżeli pokolorujemy pierwszą połowę na fioletowo, a drugą na zielono, to części fioletowa i zielona są takie same: \(\mathtt{\textcolor{var(--primary-color)}{KAN}\textcolor{green}{KAN}}.\)

O przetasowanych kwadratach pisaliśmy z czysto kombinatorycznego punktu widzenia w poprzednim Kącie: \(\Delta^{7}_{26}\)

Przetasowany kwadrat stanowi pewne uogólnienie pojęcia kwadratu – jest to słowo, dla którego istnieje takie kolorowanie każdej litery na jeden z dwóch ustalonych kolorów (pozostańmy przy zielonym i fioletowym), że otrzymane ciągi liter – oba czytane od lewej do prawej – są takie same. Pierwszym znanym przypadkiem nietrywialnego przetasowanego kwadratu w języku naturalnym jest wyrażenie

Za nietrywialny przetasowany kwadrat uznajemy taki, który nie jest kwadratem. W rozważanych wyrażeniach nie rozróżniamy wielkości liter, pomijamy spacje, znaki interpunkcyjne i diakrytykę.

Nina, mima mama,

odkryte w lipcu 2023 roku przez Andrzeja Rucińskiego z Poznania. Zauważmy, że ma ono 12 liter, a przykładowe kolorowanie to \(\mathtt{\textcolor{var(--primary-color)}{NI}\textcolor{green}{N}\textcolor{var(--primary-color)}{AM}\textcolor{green}{I}\textcolor{var(--primary-color)}{M}\textcolor{green}{AM}\textcolor{var(--primary-color)}{A}\textcolor{green}{MA}}.\)

Jan Szejko znalazł swoje przykłady 24 sierpnia 2024 roku, podczas 67. Szkoły Matematyki Poglądowej w Siedlcach.

Nieco ponad rok później Jan Szejko z Warszawy odkrył 20-literowe wyrażenie

czaszeczka szczekacza,

i 22-literowe

dziedziczenie czekanika,

których przykładowe kolorowania to \[\mbox{$\mathtt{\textcolor{var(--primary-color)}{CZASZE}\textcolor{green}{CZ}\textcolor{var(--primary-color)}{K}\textcolor{green}{ASZ}\textcolor{var(--primary-color)}{CZ}\textcolor{green}{EK}\textcolor{var(--primary-color)}{A}\textcolor{green}{CZA}}$ i~$\mathtt{\textcolor{var(--primary-color)}{DZIE}\textcolor{green}{DZI}\textcolor{var(--primary-color)}{CZENI}\textcolor{green}{ECZE}\textcolor{var(--primary-color)}{KA}\textcolor{green}{NIKA}}.$}\] Co warte podkreślenia, Ruciński i Szejko zastosowali dwa diametralnie odmienne podejścia do poszukiwania przykładów: pierwszy korzystał jedynie z siły własnego umysłu, natomiast drugi posłużył się swoimi umiejętnościami programistycznymi.

Póki co, powyższe przykłady stanowią jedyne znane przetasowane kwadraty w języku polskim. Świat zna jednak kilka okazów pochodzących z języków francuskiego i angielskiego. Najdłuższy znany obecnie przetasowany kwadrat to 48-literowy

In nine innings, Eagles battle Boston to soar near Wien win,

którego autorem jest Savinien Kreczman z Liège. Innym przykładem przetasowanego kwadratu jego autorstwa jest francuskie

Le geste léger se termine et mine tes pions espions

czy też angielski anagram przetasowanego kwadratu Rucińskiego (!):

Man, I am an imam.

Kreczman nie korzystał z pomocy komputera. Stwierdził, że tworzenie długich przykładów jest dużo łatwiejsze niż szukanie krótkich – jak sam to ujął, „wystarczy kontrolować końcówkę”, czyli przy układaniu wyrażenia liczba liter i ich układ musi się „mniej więcej” zgadzać na początku, po czym należy szukać odpowiednich słów, które będą pasować do zakończenia zdania.

Inne podejście zastosował Lucas Mol z Kamloops, który postanowił poszukać – przy użyciu komputera – dwuwyrazowych sentencji w języku angielskim. Znalazł w ten sposób \(9659\) przetasowanych kwadratów! Poniżej prezentujemy kilka z nich:

Więcej przetasowanych kwadratów Mola można znaleźć na okładce niniejszej Delty.

Wszystkie przetasowane kwadraty Kreczmana i Mola zostały odkryte na przełomie czerwca i lipca 2025 roku. Jeżeli udałoby Ci się stworzyć, Czytelniku, inne przykłady nietrywialnych przetasowanych kwadratów w językach naturalnych, to koniecznie mi je przyślij! Może nawet komuś uda się znaleźć takie słowo (lub zdanie) w języku naturalnym, które przetasowane ze sobą da słowo lub zdanie w tym samym języku, tak jak ostatni przytoczony przykład Mola czy też francuskie słowo tuteurer? To by było coś!