Zastanówmy się, jakie trójkąty możemy narysować na kartce w kratkę tak, by ich wierzchołki znajdowały się w punktach kratowych? Interesują nas tu ich kształty, a zatem pytanie zadajemy z dokładnością do podobieństwa trójkątów (np. nie odróżniamy trójkąta równobocznego o boku 1 od tego o boku \(\sqrt{2}\)).
Trójkąt prostokątny równoramienny – wiadomo, (0,0)–(1,0)–(0,1)–cycle;. Ale czy każdy trójkąt prostokątny? Gdyby dwa jego boki miały być równoległe do linii kraty, to oczywiście mamy tu pewne ograniczenie: długości jego przyprostokątnych (wyrażone w wielokrotnościach krawędzi kraty) będą całkowite, więc tangensy jego kątów muszą być liczbami wymiernymi. Jednak kratowy trójkąt prostokątny nie musi mieć krawędzi równoległych do linii kraty…
Wymierne tangensy – dobry trop! Jeśli kąty \(\alpha,\beta\) mają wymierne tangensy, to na mocy wzoru \[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\] kąt \(\alpha+\beta\) również ma wymierny tangens. To samo dotyczy kąta \(\alpha-\beta.\)
Rys. 1
To już załatwia sprawę w pełnej ogólności. Dowolny kąt trójkąta kratowego możemy wyrazić jako sumę lub różnicę kątów prostokątnych trójkątów kratowych o przyprostokątnych równoległych do linii siatki (rys. 1). Oznacza to, że wszystkie kąty trójkąta kratowego muszą mieć wymierne tangensy. Działa to również w drugą stronę: jeśli dwa kąty ostre pewnego trójkąta mają tangensy równe \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{c}{d},\) gdzie \(a,b,c,d\) są liczbami naturalnymi, to trójkąt ten można (z dokładnością do podobieństwa) otrzymać, sklejając dwa kratowe trójkąty prostokątne: jeden o przyprostokątnych długości \(ac\) i \(bc,\) zaś drugi o przyprostokątnych \(ac\) i \(ad.\)
Nasza obserwacja ma fatalne konsekwencje natury estetycznej. Tangens kąta 60\(^\circ\) jest równy \(\sqrt{3}.\) Nie jest to liczba wymierna, zatem na papierze w kratkę nie znajdziemy niestety trójkąta równobocznego. Na pocieszenie dodajmy, że na kartce standardowego zeszytu w kratkę formatu A5 możemy narysować trójkąt kratowy będący trójkątem równoramiennym o podstawie długości 15 cm (czyli 30 kratek), równoległej do dłuższego boku zeszytu, oraz wysokości 13 cm (rys. 2). Odchylenie kątów tego trójkąta od \(60^\circ\) nie przekracza 0,04\(^\circ.\) Lepiej na kartce A5 się nie da, ale oszustwo i tak jest raczej nie do wychwycenia przez ludzkie oko. Co ciekawe, na kartce w kratkę formatu A4 też nie da się lepiej, ale da się niebanalnie inaczej, tak by żaden z boków nie był równoległy do krawędzi kartki. Jak? Polecamy zastanowić się samemu!
Rys. 2
