Klub 44

Zadania z matematyki nr 929, 930

Termin nadsyłania rozwiązań: 31 I 2027

Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 M
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
919 (\(WT = 1{,}90\)) i 920 (\(WT = 1{,}09\))
z numeru 4/2026

Jędrzej Biedrzycki	Wrocław	46,53
Roksana Słowik		43,23
Tomasz Wietecha	Tarnów	41,45
Marian Łupieżowiec	Gliwice	40,52
Janusz Fiett	Warszawa	39,70
Paweł Najman	Kraków	37,10
Paweł Kubit	Kraków	37,02
Piotr Kumor	Olsztyn	34,75
Piotr Wiśniewski	Warszawa	34,10
Marek Spychała	Warszawa	33,42
Łukasz Merta	Kraków	33,02
Andrzej Kurach	Ryjewo	31,74
Bartek Knapik	Warszawa	31,49

Do Klubu 44 dołączył pan Jędrzej Biedrzycki. Witamy!

Redaguje Marcin E. KUCZMA

929. Niech \(D\) będzie ustaloną liczbą dodatnią. Znaleźć wszystkie liczby całkowite \({n\ge0},\) dla których istnieje funkcja \(f\) (o wartościach rzeczywistych), określona na przedziale \([0,D],\) mająca w tym przedziale dokładnie \(n\) miejsc zerowych oraz mająca w tym przedziale ciągłą pochodną (na końcach jednostronną), spełniającą równanie  \({\bigl(f(x)\bigr)^2+\bigl(f'(x)\bigr)^2=1}\)  dla \({x\in[0,D]}.\)

930. Niech \(d(n)\) oznacza liczbę (dodatnich) dzielników liczby \(n.\) Wyznaczyć największą wartość wyrażenia  \(\displaystyle{\frac{d(n)^3}n}\)   gdy \(n\) przebiega zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich.

Zadanie 930 zaproponował pan Witold Bednarek z Łodzi.

W e-wydaniu numeru zadanie 921: komentarz redaktora Ligi oraz wzorcowe rozwiązania.

Zadania z fizyki nr 826, 827

Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA

826. Kondensator płaski o pojemności \(c_{0}\) naładowano ładunkiem \(Q.\) Równolegle do okładek umieszczono z dwóch stron przewodzące płytki \(a\) i \(b\) o takich samych rozmiarach jak okładki kondensatora (rys. 1). Przerwy między sąsiednimi płytkami są jednakowe i małe w porównaniu z rozmiarami płytek. Płytki \(a\) i \(b\) połączono przewodnikiem. Jakie są ładunki na płytkach \(a\) i \(b\)? Jaka jest pojemność powstałego układu?

827. W chwili początkowej dwa protony i dwa pozytony spoczywają w rogach kwadratu o boku \(a\) (rys. 2), a następnie rozlatują się. Znaleźć stosunek prędkości protonu i pozytonu w nieskończoności. Przyjąć, że stosunek ich mas \(M/m=2000.\)

Rys. 1

Rys. 2