Afiliacja: Student, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński
W artykule tym przedstawimy, jak zaskakująco dalekie konsekwencje może mieć bardzo proste twierdzenie Miquela o następującej wypowiedzi:
Rys. 1
Dany jest trójkąt \(ABC\) oraz punkty \(D,\) \(E,\) \(F\) leżące, odpowiednio, na prostych \(BC,\) \(CA,\) \(AB.\) Wówczas okręgi opisane na trójkątach \(AEF,\) \(BDF,\) \(CDE\) mają punkt wspólny.
Dowód jest bardzo prosty. Załóżmy, że punkty \(D,\) \(E\) i \(F\) leżą na bokach trójkąta \(ABC\) (a nie ich przedłużeniach), jak na rysunku 1. Jeśli \(M\) jest drugim punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach \(BDF\) i \(CDE,\) to \[\begin{aligned} \angle EMF & =360^{\circ}-\angle DME-\angle FMD \\ & =360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle ACB)-(180^{\circ}-\angle CBA) \\ & =\angle ACB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle BAC, \end{aligned}\] czyli \(M\) leży też na okręgu opisanym na trójkącie \(AEF.\) Dowód w pozostałych konfiguracjach jest analogiczny.
Twierdzenie to można uogólnić, rozważając inwersję o środku w dowolnie wybranym punkcie \(P.\) Przybiera ono wtedy następującą postać:
Rys. 2
Twierdzenie A. Jeśli okręgi \(\omega_{AB},\) \(\omega_{BC},\) \(\omega_{CA}\) mają punkt wspólny \(P,\) punkty \(A,\) \(B,\) \(C\) to pozostałe punkty przecięcia par, odpowiednio, \(\omega_{AB}\) i \(\omega_{CA},\) \(\omega_{AB}\) i \(\omega_{BC},\) \(\omega_{BC}\) i \(\omega_{CA}\) oraz punkty \(D,\) \(E,\) \(F\) leżą odpowiednio na \(\omega_{BC},\) \(\omega_{CA},\) \(\omega_{AB},\) to okręgi opisane na trójkątach \(AEF,\) \(BDF,\) \(CDE\) mają punkt wspólny.
Lub równoważnie:
Twierdzenie B. Jeśli istnieje okrąg przechodzący przez punkt wspólny okręgów \(c_1\) i \(c_2,\) punkt wspólny okręgów \(c_2\) i \(c_3,\) punkt wspólny okręgów \(c_3\) i \(c_4\) oraz punkt wspólny okręgów \(c_4\) i \(c_1,\) to istnieje okrąg przechodzący przez ich pozostałe przecięcia.
O ile fakt, że inwersja przeprowadza twierdzenie Miquela na twierdzenie A, widać natychmiastowo, to równoważność twierdzeń A i B wcale nie jest oczywista na pierwszy rzut oka. Jednak po dokładniejszym przyjrzeniu się rysunkowi 2 rozpoznajemy, że w twierdzeniu A rolę okręgów \(c_1,\) \(c_2,\) \(c_3,\) \(c_4\) grają kolejno \(\omega_{AB},\) \(\omega_{CA}\) oraz te opisane na \(CDE\) i \(BDF.\)
Rys. 3
Przyjrzyjmy się jeszcze raz konfiguracji twierdzenia Miquela i zastanówmy się, co można powiedzieć w sytuacji, gdy punkty \(D,\) \(E,\) \(F\) będą leżały na jednej prostej. Wówczas cztery proste wyznaczają cztery trójkąty. Twierdzenie Miquela mówi o istnieniu punktu \(M\) wspólnego dla okręgów opisanych na \(AEF,\) \(BDF\) i \(CDE.\) To samo twierdzenie można tym razem zastosować również do trójkąta \(AEF\) i punktów \(D,\) \(C,\) \(B.\) Otrzymamy wówczas, że okręgi opisane na \(ABC,\) \(CDE,\) \(BDF\) mają punkt wspólny (rys. 3). Wniosek – okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach przechodzą przez punkt \(M\)! Punkt ten często nosi nazwę punktu Miquela dla prostych \(AB,\) \(BC,\) \(CA,\) \(DE.\)
Powyższą konstrukcję można pociągnąć dalej, a ogólny rezultat nosi nazwę łańcuchowego twierdzenia Clifforda. Jego treść łatwiej będzie podać przez opis niż przez wypowiedź. Chodzi w nim o rzecz następującą. Jeśli weźmiemy pięć prostych, z których każde trzy wyznaczają trójkąt, i narysujemy punkt Miquela każdej czwórki z nich, to uzyskane w ten sposób punkty będą leżeć na okręgu. Jeśli wyjdziemy od szóstki prostych i dla każdej piątki z nich narysujemy uzyskany w poprzedniej konstrukcji okrąg, to okręgi te będą miały punkt wspólny, itd. W ten sposób każdej parzystej liczbie prostych można przyporządkować punkt, a każdej nieparzystej okrąg.
Zaprezentujemy indukcyjny dowód tego twierdzenia. Pomocne okażą się twierdzenia A i B. Na potrzebę dowodu przyjmijmy, że trzem prostym przyporządkowujemy okrąg opisany na trójkącie przez nie wyznaczanym, dwóm prostym przyporządkowujemy ich punkt przecięcia, a jednej prostej tę właśnie prostą (czyli okrąg zdegenerowany).
Rys. 4
Niech teraz danych będzie \(n\) prostych \(\ell_1,\) \(\ell_2,\) …\(\ell_n.\) Dzięki powyższym założeniom możemy przyjąć, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(n\leq 4.\) Przechodzimy zatem do kroku indukcyjnego. Rozważmy dwa przypadki w zależności od parzystości \(n.\)
Jeśli \(n\) jest parzyste, to oznaczmy przez \(o_i\) okrąg skonstruowany dla prostych o indeksach różnych od \(i,\) przez \(P_{ij}\) punkt skonstruowany dla prostych o indeksach różnych od \(i,\) \(j\) itd. Zauważmy, że punkt \(P_{12}\) leży na wszystkich okręgach przyporządkowanych do prostych o indeksach różnych od 1, 2 i jeszcze pewnego trzeciego. Z kolei okrąg \(o_{124}\) przechodzi przez wszystkie punkty przyporządkowane prostym o indeksach różnych od 1, 2, 4 i jeszcze pewnego czwartego. Podobnie dla pozostałych punktów i okręgów. Wiemy stąd, że:
okrąg \(o_{124}\) zawiera punkty \(P_{12},\) \(P_{14},\) \(P_{24},\) \(P_{1234}\);
okrąg \(o_{234}\) zawiera punkty \(P_{23},\) \(P_{34},\) \(P_{24},\) \(P_{1234}\);
okrąg \(o_{134}\) zawiera punkty \(P_{13},\) \(P_{14},\) \(P_{34},\) \(P_{1234}.\)
Po zastosowaniu twierdzenia A dla okręgów \(o_{124},\) \(o_{234},\) \(o_{134}\) przechodzących przez \(P_{1234}\) dostajemy, że okręgi: \(o_1\) opisany na \(P_{12}P_{13}P_{14},\) \(o_2\) opisany na \(P_{12}P_{23}P_{24}\) oraz \(o_3\) opisany na \(P_{13}P_{23}P_{34}\) mają punkt wspólny. Wynika stąd, że wszystkie okręgi \(o_i\) przechodzą przez jeden punkt.
Jeśli \(n\) jest nieparzyste, to oznaczmy przez \(P_i\) punkt skonstruowany dla prostych o indeksach różnych od \(i,\) przez \(o_{ij}\) okrąg skonstruowany dla prostych o indeksach różnych od \(i,\) \(j\) itd. Tak samo jak poprzednio, wnioskujemy, że:
okręgi \(o_{12}\) i \(o_{23}\) przecinają się w \(P_2\) i \(P_{123}\);
okręgi \(o_{23}\) i \(o_{34}\) przecinają się w \(P_3\) i \(P_{234}\);
okręgi \(o_{34}\) i \(o_{41}\) przecinają się w \(P_4\) i \(P_{341}\);
okręgi \(o_{41}\) i \(o_{12}\) przecinają się w \(P_1\) i \(P_{124}.\)
Ponadto punkty \(P_{123},\) \(P_{234},\) \(P_{341},\) \(P_{124}\) leżą na okręgu \(o_{1234}.\) Zatem z twierdzenia B punkty \(P_1,\) \(P_2,\) \(P_3,\) \(P_4\) leżą na jednym okręgu. Stąd wszystkie punkty \(P_i\) są współokręgowe.
Rys. 5 . Okrąg przechodzący przez środki okręgów opisanych zawiera również punkt Miquela tych prostych.
W konfiguracji twierdzenia Miquela można dopatrzyć się jeszcze jednej ciekawej własności. Okazuje się, że środki okręgów opisanych na czterech trójkątach wyznaczanych przez cztery proste leżą na jednym okręgu (rys. 5). Rezultat ten stanowi punkt wyjścia do kolejnego łańcuchowego twierdzenia. Mianowicie: mając pięć prostych, jeśli dla każdych czterech z nich narysujemy wspomniany przed chwilą okrąg, to okręgi te będą przechodzić przez jeden punkt, a ich środki będą leżeć na jednym okręgu, który przyporządkujemy tym pięciu prostym. Dalej, startując z szóstką prostych, jeśli narysujemy okręgi przyporządkowane tak jak poprzednio każdej piątce, to okręgi te będą również przechodzić przez jeden punkt, a ich środki będą leżeć na jednym okręgu itd. Twierdzenie to, tak samo jak poprzednie, udowodnimy indukcyjnie.
Kąt skierowany między prostymi \(k\) i \(l\) (oznaczany jako \(\angle k l\)) to kąt z przedziału \([0,\pi),\) o jaki trzeba obrócić przeciwnie do ruchu wskazówek zegara prostą \(k,\) aby otrzymać prostą równoległą do prostej \(l.\) Często w tym duchu zapis \(\angle XYZ\) interpretuje się jako kąt skierowany między prostymi \(YX\) oraz \(YZ.\) To bardzo wygodna konwencja; pozwala na przykład stwierdzić, że punkty \(X,Y,Z,W\) leżą na jednym okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy \(\angle XYZ=\angle XWZ.\)
Przyjmujemy następujące oznaczenia: \(\ell_1,\) \(\ell_2,\) …, \(\ell_n\) są danymi prostymi, \(o_i\) jest okręgiem przyporządkowanym prostym o indeksach różnych od \(i,\) \(O_i\) jego środkiem, a \(O_{ij}\) środkiem okręgu przyporządkowanego prostym o indeksach różnych od \(i\) i \(j.\) Wzmocnimy też tezę indukcyjną o stwierdzenie, że kąt wpisany w uzyskiwany w tezie okrąg i oparty na łuku \(O_iO_j\) jest równy kątowi między prostymi \(\ell_j\) oraz \(\ell_i.\) Aby nadać następującym rozważaniom pełną ogólność, najlepiej byłoby traktować wymienione dalej kąty jako kąty skierowane między prostymi (patrz margines). Można jednak śmiało kontynuować lekturę bez znajomości tego pojęcia.
Przyjrzyjmy się bazie indukcji, czyli przypadkowi czterech prostych. Oznaczmy przez \(P_{ij}\) przecięcie prostych o indeksach \(i\) i \(j\) oraz niech \(M\) będzie punktem Miquela prostych \(\ell_1,\) \(\ell_2,\) \(\ell_3,\) \(\ell_4.\)
Ponieważ odcinek \(O_1O_2\) jest prostopadły do odcinka \(MP_{14},\) zaś odcinek \(O_1O_4\) do odcinka \(MP_{23},\) otrzymujemy \[\angle O_4O_1O_2=\angle P_{23}MP_{34}=P_{23}P_{24}P_{34}=\angle \ell_2\ell_4.\] Analogicznie uzasadniamy, że \(\angle O_4O_3O_2=\angle \ell_2\ell_4,\) co dowodzi, że punkty \(O_1,\) \(O_2,\) \(O_3\) i \(O_4\) leżą na jednym okręgu. Jednocześnie dowiedliśmy, że kąt wpisany w ten okrąg, oparty na łuku \(O_2O_4,\) jest kątem między prostymi \(\ell_2\) i \(\ell_1\); prawdziwości wzmocnionej tezy dla pozostałych łuków \(O_i O_j\) dowodzimy tak samo.
Rys. 6
Rys. 7
Niech teraz \(n\geq 5.\) Oznaczmy przez \(S\) drugi obok \(O_{12}\) punkt wspólny okręgów \(o_1\) i \(o_2.\) Wiemy, że
\(o_1\) przechodzi przez \(O_{12},\) \(O_{1i},\) \(S,\)
\(o_2\) przechodzi przez \(O_{12},\) \(O_{2i},\) \(S.\)
Teraz z założenia indukcyjnego o równości kątów wiemy, że \[\angle O_{1i}SO_{12}=\angle \ell_2 \ell_i \ \ \ \textnormal{oraz} \ \ \ \angle O_{12}SO_{2i}=\angle \ell_i \ell_1,\] zatem \(\angle O_{1i}SO_{2i}=\angle \ell_2 \ell_1.\) Wynika stąd, że \(S\) leży na \(o_i.\) Na koniec wystarczy zauważyć, że ze względu na prostopadłość par odcinków \(O_1O_i\) i \(SO_{1i}\) oraz \(O_2O_i\) i \(SO_{2i}\) mamy \[\angle O_1O_iO_2=\angle O_{1i}SO_{2i}=\angle \ell_2 \ell_1,\] czyli wszystkie \(O_i\) leżą na okręgu, a przy okazji sprawdziliśmy warunek kątowy dla łuku \(O_1O_2.\) Pozostałe kąty sprawdzamy analogicznie – kończąc w ten sposób dowód naszego „łańcuchowego” twierdzenia, jak również cały artykuł.