Pierścienie Saturna zostały odkryte i opisane w 1658 roku przez Christiaana Huygensa. Do czasu wysłania sond kosmicznych w XX wieku teleskopy nie pozwalały ustalić obserwacyjnie, czy pierścienie są litymi skałami, czy zbiorem skalnych „okruchów”. Jednak jeszcze w XIX wieku zagadnienie to zostało rozstrzygnięte. Jak tego dokonano?
Wskazówka: W XIX wieku w badaniach astronomicznych zaczęto wykorzystywać fotografię i spektroskopię.
Podczas „spaceru” poza stacją kosmiczną astronauta „zgubił” kartkę białego papieru. Jaka temperatura \(T\) kartki ustali się po osiągnięciu stanu równowagi? Promień orbity Ziemi (i stacji, a później także kartki) \({R_{ZS} \approx 1{,}50\cdot 10^{11}}\) m, promień Słońca \(R_S \approx 6{,}96\cdot 10^8\) m, temperatura Słońca \({T_S \approx 5{,}77\cdot 10^3}\) K, a albedo kartki (współczynnik odbicia i rozpraszania padającego na nią światła) \(a = 0{,}8.\) Powierzchnia kartki jest prostopadła do kierunku w stronę Słońca.
Czy można ponumerować wierzchołki i krawędzie ośmiościanu foremnego liczbami \(1, 2, 3, \dots, 18,\) tak żeby numer każdego wierzchołka był równy sumie numerów wychodzących z niego krawędzi?
Przypuśćmy, że takie rozmieszczenie istnieje. Rozważmy dwa przeciwległe wierzchołki ośmiościanu. Suma liczb stojących w tych wierzchołkach jest równa sumie liczb stojących w środkach ośmiu krawędzi wychodzących z tych dwóch wierzchołków.
Ponieważ wszystkie liczby są różne, suma tych ośmiu liczb jest równa co najmniej \[1+2+\ldots+8=36.\] Z drugiej strony w dwóch wierzchołkach stoją dwie różne liczby nie większe niż \(18,\) więc ich suma jest równa co najwyżej \[17+18=35.\] Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC.\) Na okręgu opisanym na tym trójkącie zaznaczono punkt \(D\) antypodalny do punktu \(A\) (rysunek obok). Punkty \(X\) i \(Y\) leżą na boku \(BC\) i spełniają\[BX=XD,\ \ \ CY=YD,\] przy czym punkt \(X\) leży na odcinku \(BY.\) Udowodnić, że prosta \(DA\) jest dwusieczną kąta \(XDY.\)
Niech \(O\) będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC.\) Wtedy punkty
\(A,O,D\) leżą na jednej prostej.
Rozważmy trójkąty \(BOX\) i \(DOX.\) Mamy
\[OB=OD,\
BX=DX,\
OX=OX,\]
więc trójkąty te są przystające. Zatem
\[\angle ODX=\angle OBX.\]
Analogicznie trójkąty \(COY\) i \(DOY\) są przystające, więc
\[\angle ODY=\angle OCY.\]
Trójkąt \(OBC\) jest równoramienny, bo \(OB=OC,\) zatem \[\angle OBX =\angle OBC=\angle OCB=\angle OCY.\] Wobec tego \[\angle ODX=\angle ODY,\] co kończy dowód.
Niech \(f,g\colon \mathbb{Z}_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}\) będą funkcjami takimi, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) zachodzą równości \[f(f(n))=2f(n),\ \ \ g(g(n))=2g(n),\ \ \ f(n)+g(n)=4n+1.\] Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) zachodzi \[|f(n)-g(n)|=1.\]
Rozważmy bazę indukcji, czyli przypadek \(n=1.\) Ponieważ \[f(1)+g(1)=5,\] wystarczy pokazać, że ani \(f(1),\) ani \(g(1)\) nie jest równe \(1.\) Gdyby \(f(1)=1,\) to z warunku \(f(f(1))=2f(1)\) dostalibyśmy \(1=2,\) sprzeczność. Analogicznie \(g(1)\neq 1.\) Zatem \[\{f(1),g(1)\}=\{2,3\}.\]
Załóżmy teraz, że teza indukcyjna jest prawdziwa dla wszystkich liczb \(1\leq k<n.\) Niech \[k=\left\lfloor \frac n2\right\rfloor.\] Wtedy \(n\in\{2k,2k+1\},\) a z założenia indukcyjnego \[\{f(k),g(k)\}=\{2k,2k+1\}.\] Zatem \(n=f(k)\) albo \(n=g(k).\)
Jeśli \(n=f(k),\) to \[f(n)=f(f(k))=2f(k)=2n.\] Jeśli zaś \(n=g(k),\) to korzystając z równości \(f(x)+g(x)=4x+1\) oraz \(g(g(k))=2g(k),\) dostajemy \[\begin{aligned} f(n) & =f(g(k))=4g(k)+1-g(g(k)) \\ & =2g(k)+1=2n+1. \end{aligned}\] W obu przypadkach \(f(n)\in\{2n,2n+1\}.\) Ponieważ \[f(n)+g(n)=4n+1,\] otrzymujemy \[\{f(n),g(n)\}=\{2n,2n+1\}.\] Indukcja jest zakończona, a więc \(|f(n)-g(n)|=1\) dla każdego \(n\in\mathbb{Z}_{>0}.\)